带状态的DP君~

• 类型总结：买卖一次、买卖无限次、买卖k次、买卖无限次、含冷冻期。

• 买卖k次的问题需要不断统计、维护买卖i次的最大收益。

• 状态较多的题可以借助状态机分析状态转移情况。

121 买卖股票的最佳时机

统计第$i$天之前的股票最低价格，计算在第$i$天卖出时能得到的最大收益，从而得到全局的最大收益。一次遍历可以解决。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        // 目前的最小价格
        int minPrice = prices[0];
        // 能够获得的最大收益
        int profit = 0;
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            // 更新收益
            profit = Math.max(profit, prices[i] - minPrice); 
            // 更新价格
            minPrice = Math.min(minPrice, prices[i]);
        }
        return profit;
    }
}

122 买卖股票的最佳时机Ⅱ

贪心(不好意思啦作弊啦），如果当前股票价格比前一天高，那就在前一天买入、在今天卖出。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int profit = 0;
        
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            profit += Math.max(0, prices[i] - prices[i - 1]);
        }
        
        return profit;
    }
}

123 买卖股票的最佳时机Ⅲ ★

思路可能不难，但细节确实太多。

以第一次买入、第一次卖出、第二次买入、第二次卖出作为4个状态。

先考虑在第i天时的情况

D[i][0] 在第i天第一次买入股票的收益: -prices[i]
D[i][1] 在第i天第一次卖出股票的最大收益: prices[i] - min(prices[j]), j <= i
D[i][2] 在第i天第二次买入股票的最大收益: -prices[i] + max(D[j][1]), j <= i
D[i][3] 在第i天第二次卖出股票的最大收益: prices[i] + max(D[j][2]), j <= i

在考虑在第i天及之前的情况

需要的统计量包括：

1、第$i$天之前股票的最小价格
$$\text{minPrice}(i)=\min (\text{minPrice}(i-1),prices[i])$$
2、第$i$天及之前第一次卖出股票能得到的最大收益

• 可以在同一天先买入后卖出，至少这样第一笔交易不会是负收益，故减去$minPrice(i)$，而不是减去$minPrice(i-1)$

$${\text{sell}}_1(i)=\max ({\text{sell}}_1(i-1),prices[i]-\text{minPrice}(i))$$

3、第$i$天及之前第二次买入股票能得到的最大收益
$${\text{buy}}_2(i)=\max ({\text{buy}}_2(i-1),-prices[i]+{\text{sell}}_1(i))$$
4、第$i$天及之前第二次卖出股票能得到的最大收益：
$${\text{sell}}_2(i)=\max ({\text{sell}}_2(i-1),prices[i]+{\text{buy}}_2(i))$$
写成代码类似物，变量的更新方式如下：

第i天及之前：
股票的最小价格：buy1 = min(buy1, prices[i])
第一次卖出股票能得到的最大收益：sell1 = max(sell1, prices[i] - buy1)
第二次买入股票的最大收益：buy2 = max(buy2, -prices[i] + sell1)
第二次卖出股票能获得的最大收益：sell2 = max(sell2, prices[i] + buy2)

完整代码，代码非常简介，分析非常复杂：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int minPrice = Integer.MAX_VALUE;
        int sell1 = Integer.MIN_VALUE;
        int buy2 = Integer.MIN_VALUE;
        int sell2 = Integer.MIN_VALUE;

        for (int i = 0; i < prices.length; i++) {
            minPrice = Math.min(prices[i], minPrice);
            sell1 = Math.max(sell1, prices[i] - minPrice);
            buy2 = Math.max(buy2, -prices[i] + sell1);
            sell2 = Math.max(sell2, prices[i] + buy2);
        }

        return sell2;
    }
}

188 买卖股票的最佳时机Ⅳ

最多可以买$k$次啦，建议写完Ⅲ再来写Ⅳ，要不真的思考过程too hard。

第$i$天及之前第k次买入的最大收益：
$$bu{y}_k(i)=\max (bu{y}_k(i-1),-prices[i]+sel{l}_{k-1}(i))$$
第$i$天及之前第k次卖出的最大收益：
$$sel{l}_k(i)=\max (sel{l}_k(i-1),prices[i]+bu{y}_k(i))$$
所以需要一个数组捏：int[][] D = new int[k + 1][2]

遍历整个数组，遍历到每一个元素时，更新D。

D[k][0] = max(D[k][0], -prices[i] + D[k - 1][1])
D[k][1] = max(D[k][1], prices[i] + D[k][0])

初始化：

D[k][0] = -inf
D[k][1] = 0

完整代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        // D[j][0]表示第j次买入的最大收益，D[j][1]表示第j次卖出的最大收益，j从1到k
        int[][] D = new int[k + 1][2];

        for (int j = 0; j <= k; j++) {
            D[j][0] = Integer.MIN_VALUE;
        }

        for (int price : prices) {
            for (int j = 1; j <= k; j++) {
                D[j][0] = Math.max(D[j][0], -price + D[j - 1][1]);
                D[j][1] = Math.max(D[j][1], price + D[j][0]);
            }
        }

        return D[k][1];
    }
}

309 最佳买卖股票时机含冷冻期

分析不明白了捏，画个状态机看看。

$D[i][0],D[i][1],D[i][2]$表示第$i$天在未持有、持有、冷冻期状态的最大收益。

• 第$i$天若为持有状态，可由第$i-1$天的 <持有状态 + 不卖动作> 和第$i-1$天的 <未持有状态 + 买入动作> 转移而来
  • <持有状态 + 不卖动作> ：$D[i-1][1]$
  • <未持有状态 + 买入动作>：$-prices[i]+D[i-1][0]$
  • $D[i][1]=\max (D[i-1][1],-prices[i]+D[i-1][0])$
• 第$i$天若为未持有状态，可由第$i-1$天的 <冷冻期 + 过一天> 和第$i-1$天的 <未持有状态 + 不买动作> 转移而来
  • <冷冻期 + 过一天> ：$D[i-1][2]$
  • <未持有状态 + 不买动作>：$D[i-1][0]$
  • $D[i][0]=\max (D[i-1][0],D[i-1][2])$
• 第$i$天若为冷冻期：
  • <持有状态 + 卖出>：$D[i][2]=D[i-1][1]+prices[i]$

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int hold = Integer.MIN_VALUE;
        int freeze = 0;
        int notHold = 0;

        int profit = Integer.MIN_VALUE;

        for (int i = 0; i < prices.length; i++) {
            hold = Math.max(hold, -prices[i] + notHold);
            notHold = Math.max(notHold, freeze);
            freeze = hold + prices[i];
            
            profit = Math.max(profit, freeze);
        }

        return profit;
    }
}

714 买卖股票的最佳时机含手续费

和Ⅱ蛮像，状态机确实好使。

有手续费的话就不会出现当日买入、当日卖出的情况啦，负收益捏。

1. 第$i$天为持有状态的最大收益：
   • <未持有 + 买入>：$-prices[i]+D[i-1][1]$
   • <持有 + 不卖>：$D[i-1][0]$
2. 第$i$天为未持有状态的最大收益：
   • <持有 + 卖出>：$prices[i]-fee+D[i-1][0]$
   • <未持有 + 不卖>：$D[i-1][1]$

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int hold = Integer.MIN_VALUE;
        int notHold = 0;

        int profit = 0;

        for (int i = 0; i < prices.length; i++) {
            hold = Math.max(hold, -prices[i] + notHold);
            notHold = Math.max(notHold, prices[i] - fee + hold);
            // 更新最大收益
            profit = Math.max(profit, notHold);
        }

        return profit;
    }
}