解析函数的等价定义

1. 解析函数的定义：$f(z)$在区域内可导则在区域内解析，在一点解析就是在某一邻域内可导。解析函数不可能只在一点解析。
2. 柯西-黎曼方程：函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在区域$D$内解析的充要条件是：$u,v$在$D$内可微，并且满足柯西-黎曼方程$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。此时$f(z)$在点$z=x+iy$的导数为$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$。

记忆方法：
平行的相等，交叉的是相反数。
导数公式的理解：对于$f(z)=u+iv$，$\frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{\partial f(z)}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z}$，其中$z=x+iy$，故$\frac{\partial z}{\partial x}=1$，$\frac{\partial x}{\partial z}=1$，而$\frac{\partial f(z)}{\partial x}=u_x+i{v}_y$，由此得出$\frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=u_x+i{v}_x$。又$\frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{\partial f(z)}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial z}$，其中$\frac{\partial y}{\partial z}=\frac{1}{\frac{\partial z}{\partial y}}=\frac{1}{i}$，故$\frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{i}(u_y+i{v}_y)=\frac{1}{i}{u}_y+v_y$。
初等函数的解析性：
(1) 指数函数：$e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$，满足$|e^z|=e^x$，$\mathrm{Arg}{e}^z=y+2k\pi$，并且$e^z\ne 0$。它是以$2k\pi i$为周期的周期函数。指数函数在复平面内处处解析，其导数就是它本身。
(2) 对数函数：$\mathrm{Ln}z=\ln |z|+i\mathrm{Arg}z$，为多值函数，其任两个值的差为$2k\pi i$。$\mathrm{Ln}z$的主值记为$\ln z$，定义为$\mathrm{Arg}z$取主值$\arg z$时的值（注意$\arg z\in (-\pi ,\pi ]$），即$\ln z=\ln |z|+i\arg z$。因此，$\mathrm{Ln}{e}^{x+iy}=x+i(y+2k\pi )$，$\ln e^{x+iy}=x+i(y+2m\pi )$，其中$m$是一个合适的整数使得$y+2m\pi \in (-\pi ,\pi ]$。$\mathrm{Ln}z$的各个分支在除去原点与负实轴外的复平面内处处连续、处处解析，并且$(\mathrm{Ln}z{)}^{\prime }=\frac{1}{z}$。这个导数是通过反函数的求导公式得到的。
(3) 幂函数：$z^b=e^{b\mathrm{Ln}z}$。当$b$为整数时是单值的；当$b$为有理数$\frac{p}{q}$（$p,q$为互质整数，$q>0$）时有$q$个值；当$b$为无理数时有无穷多个值。判断的方法为考虑$e^{2k\pi ib}$的周期性。$z^b$的各个分支在除原点和负实轴的复平面内解析，且$(z^b{)}^{\prime }=b{z}^{b-1}$；特别地，当$b$是整数时，$z^b$是单值函数，在整个复平面内解析。
(4) 三角函数：$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$，$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$（分子上$e^{iz}$一定在前头）。它们都是以$2\pi$为周期的周期函数，奇偶性、三角恒等式和实变函数相同。它们都在整个复平面内解析，导函数也与实变函数相同。$e^{iz}=\cos z+i\sin z$成立。它们的零点都在实轴上。双曲正弦、双曲余弦函数的定义就是在正弦、余弦的定义中把$i$全删掉。
(5) 反三角函数：称方程$z=\cos w$的所有根$w$为$z$的复变反余弦函数，记作$w=\mathrm{Arccos}z$。解方程得到$\mathrm{Arccos}z=-i\mathrm{Ln}(z+\sqrt{z^2-1})$，$\mathrm{Arcsin}z=-i\mathrm{Ln}(iz+\sqrt{1-z^2})$，其中$\sqrt{\cdots }$是双值函数。

3. 沿闭曲线的积分：函数$f(z)$在单连通域$B$内解析的充要条件是$f(z)$在$B$内连续，并且对$B$内任一闭曲线都有$${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=0$$

这个可以用格林公式来理解。令$z=x+iy$，$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，则$\mathrm{d}z=\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y$，$f(z)\mathrm{d}z=(u+iv)(\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y)=(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+i(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y)$，$${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z={\oint }_C(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+i{\oint }_C(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y)$$要让这两个第一型线积分都为$0$，回想一下格林公式：$${\oint }_{C}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\underset{(\sigma )}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma$$只需使每个曲线积分的$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$处处成立即可。对${\oint }_C(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)$，我们有$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$；对${\oint }_C(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y)$，我们有$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}$。这就是柯西-黎曼方程。

4. 幂级数：函数$f(z)$在区域$D$内解析的充要条件为$f(z)$在$D$内任一点$z_0$的邻域内可以展开成幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{(z-z_0)}^n$。能展开成幂级数是解析函数的本质属性，是实变函数所没有的。

解析函数的性质

1. 基本性质：

   • 若函数$f(z)$在一点解析，则一定在这一点连续（因为可导必连续）。
   • 若$f(z)$在$z_0$不解析，则称$z_0$为$f(z)$的奇点。
   • 在区域$D$内两解析函数$f(z)$与$g(z)$的和、差、积、商（出去分母为$0$的点）在$D$内解析。
   • 设函数$h=g(z)$在$z$平面上的区域$D$内解析，$w=f(h)$在$h$平面上的区域$G$内解析，且$g(z)$的值域$R(g)\subseteq G$，则复合函数$w=f[g(z)]$在$D$内解析。

2. 柯西-古萨基本定理：如果函数$f(z)$在简单闭曲线$C$上以及由它围成的区域$D$内处处解析，那么$${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=0$$

3. 复合闭路定理：设$C$为多连通域$D$内的一条简单闭曲线，$C_1,C_2,\cdots ,C_n$是在$C$内部的$n$条简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以它们为边界的$n$个区域全含于$D$。如果$f(z)$在$D$内解析，那么：

   • $${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=\sum _{k=1}^n{\oint }_{C_k}f(z)\mathrm{d}z$$
   • $${\oint }_{\Gamma }f(z)\mathrm{d}z=0$$其中$\Gamma$是由$C$及各$C_k$的负向所组成的复合闭路，即$\Gamma =C+C_1^{-}+C_2^{-}+\cdots +C_n^{-}$。

意思就是，围绕很多奇点的闭路积分，等于围绕每个奇点的闭路积分之和。有很多奇点时分开算即可。

4. 闭路变形原理：在给定区域内的一个解析函数$f(z)$沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数$f(z)$不解析的点。

应用：围绕一个奇点进行积分，不管路径多么稀奇古怪，总可以化为一个小的环路。

5. 原函数：设$f(z)$在区域$D$内连续，如果函数$\phi (z)$在区域$D$内的导数等于$f(z)$（即${\phi }^{\prime }(z)=f(z)$），则称$\phi (z)$为$f(z)$在区域$D$内的一个元函数。因为解析函数一定连续，所以如果$f(z)$在单连通域$B$内解析，则$F(z)={\int }_{z_0}^{z}f(\zeta )\mathrm{d}\zeta$是$f(z)$在单连通域$B$内的一个原函数。

6. 柯西积分公式：如果$f(z)$在区域$D$内处处解析，$C$为$D$内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全包含于$D$，$z_0$为$C$内部的任一点，那么$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z$$

从留数的角度看，设$f(z)$在$z=z_0$处的洛朗展开式为$f(z)=\cdots +c_{-1}{(z-z_0)}^{-1}+f(z_0)+c_1(z-z_0)+\cdots$，则$\frac{f(z)}{z-z_0}=\cdots +c_{-1}{(z-z_0)}^{-2}+f(z_0){(z-z_0)}^{-1}+c_1+\cdots$，于是得出$\mathrm{Res}\left(\frac{f(z)}{z-z_0},z_0\right)=f(z_0)$，这样就可以得出柯西积分公式了。虽然这样有点循环论证的味道

7. 解析函数的无限可导性：解析函数的导数也是解析函数，因而解析函数的任意阶导数都是解析函数。

8. 高阶导数公式：$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{{(z-z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}z$$

注意不要忘了$n$的阶乘！！！高阶导数公式有阶乘，泰勒级数有阶乘，用导数计算留数也有阶乘。
也不要忘了分母是$n+1$次方，而不是$n$次方！！！

9. 柯西不等式：设函数$f(z)$在区域$D$内解析，$z_0\in D$，则$$|f^{(n)}(z_0)|\le \frac{n!\cdot \underset{|z-z_0|=R}{\max }|f(z)|}{R^n}$$这个定理刻画了一点的$n$阶导数与围绕它的环域上$f(z)$绝对值的最大值的关系。

证明：$$\begin{gathered} |f^{(n)}(z_0)|=\left|\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{|z-z_0|=R}\frac{f(z)}{{(z-z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}z\right|\le \frac{n!}{2\pi }{\oint }_{|z-z_0|=R}\frac{|f(z)|}{{|z-z_0|}^{n+1}}\mathrm{d}s \\ \le \frac{n!}{2\pi }{\oint }_{|z-z_0|=R}\frac{\underset{|z-z_0|=R}{\max }|f(z)|}{R^{n+1}}\mathrm{d}s=\frac{n!}{2\pi }\frac{\underset{|z-z_0|=R}{\max }|f(z)|}{R^{n+1}}\cdot 2\pi R=\frac{n!\cdot \underset{|z-z_0|=R}{\max }|f(z)|}{R^n} \end{gathered}$$

10. 刘维尔定理：设$f(z)$在整个复平面上解析且有界，则$f(z)$为常数。

证明：设在整个复平面上$|f(z)|\le M$，其中$M$是上界。则由柯西不等式知，${\forall }_{0}z\in \mathbb{C}$，$R>0$，有$$|f^{\prime }(z_0)|\le \frac{\underset{|z-z_0|=R}{\max }|f(z)|}{R}\le \frac{M}{R}$$令$R\to \infty$，即知$|f^{\prime }(z_0)|$小于任意正数，因而$|f^{\prime }(z_0)|=0$，$f^{\prime }(z_0)=0$。于是可得$f^{\prime }(z)\equiv 0$，即$f(z)$恒为常数。

11. 调和函数（必要但不充分条件）：区域$D$内的解析函数的实部和虚部都是$D$内的调和函数。其逆命题不一定成立。

也就是说，设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在区域$D$内解析，则$\forall (x,y)\in D$，$$\begin{gathered} \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0 \\ \frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=0 \end{gathered}$$这可以从柯西-黎曼方程推得。

10. 洛朗级数：设$f(z)$在圆环域$R_1<|z-z_0|<R_2$内解析（$R_1$和$R_2$常根据奇点确定），则在此圆环域内$f(z)$必能唯一地展开成双边幂级数$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{(z-z_0)}^n$$其中$$c_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{{(z-z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}z(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$$$C$为该圆环域内绕$z_0$的任一正向简单闭曲线。

11. 留数：若$f(z)$在$z_0$处解析，则$\mathrm{Res}[f(z),z_0]=0$。