惠更斯原理和格林定理
惠更斯原理显示了表面上的波场如何决定表面 S S S外的波场。惠更斯在17世纪启发性地表达了这一概念。但这个想法的数学表达是由于19世纪的乔治·格林。这一概念可以在数学上表达为标量波和矢量波。矢量波情形的推导与标量波情形是同态的。但是标量波情况下的代数要简单得多。因此，我们将首先讨论标量波的情况，然后讨论电磁矢量波的情况。
一. 标量波
导出标量波动方程惠更斯原理的几何
导出标量波动方程惠更斯原理的几何
导出标量波动方程惠更斯原理的几何
对于一个满足标量波动方程的函数
Φ
\Phi
Φ(
r
\mathbf{r}
r)，
(
∇
2
+
k
2
)
Φ
(
r
)
=
0
\begin{equation} ( { \nabla ^2 } + {k^2}) \Phi (\mathbf{r}) = 0 \end{equation}
(∇2+k2)Φ(r)=0
对应的标量格林函数
g
(
r
,
r
′
)
g( \mathbf{r}, {\mathbf{r}^{\prime}})
g(r,r′)满足
(
∇
2
+
k
2
)
g
(
r
,
r
′
)
=
−
δ
(
r
−
r
′
)
\begin{equation} ({\nabla ^2} + k^2) g(\mathbf{r}, {\mathbf{r}^{\prime}}) = - \delta (\mathbf{r} - {\mathbf{r}^{\prime}}) \end{equation}
(∇2+k2)g(r,r′)=−δ(r−r′)
将公式（1）乘以格林函数
g
(
r
,
r
′
)
g(\mathbf{r}, {\mathbf{r}^{\prime}})
g(r,r′)，公式（2）乘以
Φ
(
r
)
\Phi (\mathbf{r})
Φ(r)。
∫
V
d
r
[
g
(
r
,
r
′
)
∇
2
Φ
(
r
)
−
Φ
(
r
)
∇
2
g
(
r
,
r
′
)
]
=
C
\begin{equation} \int_ {V} \,{d} \mathbf{r} [g(\mathbf{r}, {\mathbf{r}^{\prime}}) \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) - \Phi(\mathbf{r}) \nabla^2 g(\mathbf{r}, {\mathbf{r}^{\prime}}) ] = C \end{equation}
∫Vdr[g(r,r′)∇2Φ(r)−Φ(r)∇2g(r,r′)]=C
如果
r
′
\mathbf{r}^{\prime}
r′
⊂
\subset
⊂
V
V
V，那么
C
C
C=
Φ
(
r
′
)
\Phi (\mathbf{r}^{\prime})
Φ(r′)，否则
C
C
C =
0
0
0。
考虑数学关系：
g
g
g
∇
2
\nabla^2
∇2
Φ
\Phi
Φ -
Φ
\Phi
Φ
∇
2
\nabla^2
∇2
g
g
g=
∇
\nabla
∇
⋅
\cdot
⋅
(
(
(
g
g
g
∇
\nabla
∇
Φ
\Phi
Φ
−
-
−
Φ
\Phi
Φ
∇
\nabla
∇
g
g
g
)
)
)，基于高斯发散法则，公式（3）可以修正为
∮
S
d
S
n
^
⋅
[
g
(
r
,
r
′
)
∇
Φ
(
r
)
−
Φ
(
r
)
∇
g
(
r
,
r
′
)
]
=
C
\begin{equation} \oint_{S} \,{d} S \hat n \cdot [g(\mathbf{r}, {\mathbf{r}^{\prime}}) \nabla\Phi(\mathbf{r}) - \Phi(\mathbf{r}) \nabla g(\mathbf{r}, {\mathbf{r}^{\prime}}) ] = C \end{equation}
∮SdSn^⋅[g(r,r′)∇Φ(r)−Φ(r)∇g(r,r′)]=C
其中，
S
S
S为区域
V
V
V的边界。当确定了函数
Φ
(
r
)
\Phi({\mathbf{r}})
Φ(r)，那么
n
^
\hat n
n^
⋅
\cdot
⋅
∇
\nabla
∇
Φ
(
r
)
\Phi({\mathbf{r}})
Φ(r)、格林函数
g
(
r
,
r
′
)
g{(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime)}
g(r,r′)也就确定了。远离曲面
S
S
S的函数
Φ
(
r
′
)
\Phi({\mathbf{r}^\prime})
Φ(r′)也就可以找到。
推导惠更斯原理的几何情形 推导惠更斯原理的几何情形 推导惠更斯原理的几何情形
如果区域 V V V的边界是 S S S和 S i n f S_{inf} Sinf（如上图所示），公式（4）中的表面积分应该是在曲面 S i n f S_{inf} Sinf上。然而，当 S i n f S_{inf} Sinf → \to → ∞ \infty ∞时，所有的场就类似于平面波，此时在曲面 S i n f S_{inf} Sinf上的拉布拉斯运算符可以近似为 ∇ \nabla ∇ → \to → − r ^ j k -\hat rjk −r^jk。进一步地，当 r → ∞ r \to \infty r→∞时， g ( r − r ′ ) g({\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime}) g(r−r′) ∼ \sim ∼ O ( 1 / r ) O(1/r) O(1/r)， Φ ( r ) \Phi{\mathbf(r)} Φ(r) ∼ \sim ∼ O ( 1 / r ) O(1/r) O(1/r)。此时，在曲面 S i n f S_{inf} Sinf上的积分为零，只剩下曲面 S S S上的积分。根据由内而外的等效原理法则，曲面 S S S外部的任意位置 r ′ \bf r^\prime r′上场可以用曲面 S S S上的场来表示。
考虑到
g
(
r
,
r
′
)
g({\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime})
g(r,r′)只在区域V的有效，故而当
r
\bf r
r
∈
\in
∈
S
S
S时，
g
(
r
,
r
′
)
g(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime)
g(r,r′)=
0
0
0，公式（4）进一步地变为
−
∮
S
d
S
Φ
(
r
)
n
^
⋅
∇
g
(
r
,
r
′
)
=
Φ
(
r
′
)
，
r
′
∈
V
\begin{equation} -\oint_{S} \,{d} S \Phi(\mathbf{r}) \hat n \cdot \nabla g(\mathbf{r}, {\mathbf{r}^{\prime}}) = \Phi(\mathbf{r}^\prime) ， \bf r^\prime \in V \end{equation}
−∮SdSΦ(r)n^⋅∇g(r,r′)=Φ(r′)，r′∈V
为了满足标量格林函数的波动方程，当考虑边界条件满足关系：
n
^
⋅
∇
g
(
r
,
r
′
)
=
0
\hat n \cdot \nabla g(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime) = 0
n^⋅∇g(r,r′)=0 。此时，公式（4）就变为
−
∮
S
d
S
g
(
r
,
r
′
)
n
^
⋅
∇
Φ
(
r
)
=
Φ
(
r
′
)
，
r
′
∈
V
\begin{equation} -\oint_{S} \,{d} S g(\mathbf{r}, {\mathbf{r}^{\prime}}) \hat n \cdot \nabla \Phi(\mathbf{r}) = \Phi(\mathbf{r}^\prime) ， \bf r^\prime \in V \end{equation}
−∮SdSg(r,r′)n^⋅∇Φ(r)=Φ(r′)，r′∈V
公式（4）、（5）、（6）是依赖于格林函数 g ( r , r ′ ) g(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime) g(r,r′)标量波的惠更斯定理或者等效原理的各种形式。
