泰勒公式

 用柯西定理证明

拉格朗日余项

麦克劳林展开式：

 

皮亚诺余项的泰勒公式：

 

弧长的微分

 

 

注意s'(t)需要在后面证明（定积分的知识）

不定积分：

注意，不同的积分方法经常会得到不同的结果，但它们一定只相差一个常数

定积分：

 

 

 

 可积分的充分条件：

 积分中值定理：

 微积分基本定理：

 

 注意积分变量和上限变量是不一样的，但都写成x方便。

积分变量可以随便换。

牛顿-莱布尼兹公式

一般变限积分求导

 

曲线弧长：

 在此证明

 

圆的周长公式：

 弧长微分公式：

 

圆台侧面积问题：

 

注意，在做近似的时候，需要保证误差必须是变量的高阶无穷小

也就是y = f'(x)dx + o(x) 

直观的理解是，考虑一个球的体积，相对于体积而言，圆台和圆柱的差距很小，

所以微元法看成梯形还是矩形并不影响大局。当然端点例外，但因为只有那一个点有这个问题。

但是如果是表面积，圆台和圆柱的差距就不可忽略了。

第一类广义积分：

 

第二类广义积分：

收敛级数的性质：

 

 

柯西-阿玛达公式：

收敛区间的收敛幂级数逐项可导，逐项可积，而且收敛区间不变

 

 

求幂级数的方法：

函数展开成幂级数：

 

 

 

 

 

 

求积分的新方法：

 

 唯一性定理：

看一个例子：

 

 能展开幂级数之后，求导和积分都好做。