647. 回文子串
文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)
视频讲解：动态规划，字符串性质决定了DP数组的定义 | LeetCode：647.回文子串_哔哩哔哩_bilibili
状态：不会做。
思路
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确定dp数组（dp table）以及下标的含义
本题如果我们定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。
dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。所以我们要看回文串的性质。 如图：
在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。
那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。
所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的
dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。 -
确定递推公式
整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，
dp[i][j]一定是false。当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
- 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
- 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
- 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看
dp[i + 1][j - 1]是否为true。
递归公式如下，
if (s[i] == s[j]) { if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二 result++; dp[i][j] = true; } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三 result++; dp[i][j] = true; } }result就是统计回文子串的数量。
注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面
dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。 -
dp数组如何初始化
dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。所以
dp[i][j]初始化为false。 -
确定遍历顺序
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据
dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。dp[i + 1][j - 1]在dp[i][j]的左下角。所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证
dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证
dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。注意因为
dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。
代码
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
int result = 0;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
}
return result;
}
};
516.最长回文子序列
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视频讲解：动态规划再显神通，LeetCode：516.最长回文子序列_哔哩哔哩_bilibili
状态：不会做。
思路
回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！
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确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。 -
确定递推公式
如果s[i]与s[j]相同，那么
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;如图：
如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入s[j]的回文子序列长度为
dp[i + 1][j]。加入s[i]的回文子序列长度为
dp[i][j - 1]。那么
dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
代码如下
if (s[i] == s[j]) { dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; } else { dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); } -
dp数组如何初始化
首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么
dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。其他情况
dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0)); for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1; -
确定遍历顺序
从递归公式中，可以看出，
dp[i][j]依赖于dp[i + 1][j - 1]，dp[i + 1][j]和dp[i][j - 1]，如图：
所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
j的话，可以正常从左向右遍历。
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) { if (s[i] == s[j]) { dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; } else { dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); } } }
代码
class Solution {
public:
int longestPalindromeSubseq(string s) {
vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[0][s.size() - 1];
}
};
