组合数学第四讲

news2025/12/16 8:02:58

Generating Function（生成函数）

这里是一个普通生成函数例子，生成函数一般适用于根据递推关系式求出比较复杂的通项公式a_{n}的

 

 关键点：

1.a_{n+1}项可转换成G(x)-a_{0},因为生成函数规定是从0到+∞的

2.\sum_{n=0}^{\infty }x^{n} = 1 + x + x^{2} + ... + x^{n},当|x|<1时，最终可收敛为\frac{1}{1-x}。这里的x可以看做整体，如\sum_{n=0}^{\infty }4x^{n}最后收敛为\frac{1}{1-4x}；同时也可以通过\frac{1}{1-x}倒推出\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}

Fibonacci numbers（斐波那契数列）

 下面可以用生成函数练习一下，推导一下斐波那契数列的通项公式

 利用累加法可以推导出一些关于斐波那契数列的结论

 Golden Ratio（黄金分割率）

 

 发现在上面推导斐波那契数列的通项公式时，利用求根公式也求出过φ

 Exponential Generating Function（指数生成函数）

 

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