前言

本实验是算法设计与分析课程的一个实验，旨在帮助掌握数理基础和串匹配算法的相关知识，以及如何用C语言实现串匹配程序。本实验分为两个部分：第一部分是数理基础，包括集合、关系、函数、图论等概念的复习和练习；第二部分是串匹配程序设计，要求学生根据给定的问题描述和输入输出格式，设计并实现一个能够在文本中查找模式串的程序。

实验内容

（1）给定两个字符串S和T，利用BF算法，在主串S中查找子串T，并输出查找结果，输出时需以文字形式对查找结果进行定性说明；
（2）要求以C++/C/Java等编程语言进行实现；
（3）建立算法时间复杂度分析模型，并利用计算机统计该算法的执行效率。

实验流程

根据实验内容设计算法伪代码进行算法描述；
利用C++/C/Java等编程语言对算法伪代码进行工程化实现；
输入测试用例对算法进行验证；
列出算法时间复杂度模型并与计算机运行统计时间进行对比分析。

实验过程

实验分析

（1）给定两个字符串S和T，利用BF算法，在主串S中查找子串T，并输出查找结果，输出时需以文字形式对查找结果进行定性说明；

BF算法，即暴力 (Brute Force)算法，是普通的模式匹配算法12，BF算法的思想就是将目标串S的第一个字符与模式串T的第一个字符进行匹配，若相等，则继续比较S的第二个字符和 T的第二个字符；若不相等，则比较S的第二个字符和T的第一个字符，依次比较下去，直到得出最后的匹配结果2。

例如，如果S = “ababcabcacbab”，T = “abcac”，则BF算法的执行过程如下：

首先将T与S的第一个字符对齐，逐个比较对应的字符，发现第三个字符不相等，然后将T与S的第二个字符对齐，重新开始比较，发现第三个字符不相等，依次类推，直到将T与S的第六个字符对齐时，发现所有的字符都相等，此时匹配成功，输出查找结果为：子串T在主串S中出现了一次，起始位置为6。
如果继续向后查找，可以发现子串T还在主串S中出现了一次，起始位置为12。
如果没有更多的匹配结果，则结束查找。

伪代码

// Define a function to find the occurrences of a substring in a string
function BF(string S, string T, integer pos)
  // Initialize i as the current position in S
  i = pos
  // Initialize j as the current position in T
  j = 0
  // Loop until either S or T is exhausted
  while i < length of S and j < length of T
    // If the current characters match
    if S[i] == T[j]
      // Move to the next characters in both strings
      i = i + 1
      j = j + 1
    // Otherwise
    else
      // Move back i to the next starting position in S
      i = i - j + 1
      // Reset j to the beginning of T
      j = 0
  // If T is exhausted
  if j == length of T
    // Return the starting position of the match in S
    return i - j
  // Otherwise
  else
    // Return -1 to indicate no match
    return -1

// Define the main program
function main()
  // Initialize S as the main string
  S = "ababcabcacbab"
  // Initialize T as the substring to find
  T = "abcac"
  // Initialize pos as the starting position to search from
  pos = 0
  // Initialize result as the variable to store the search result
  result = -1
  // Loop until no more matches are found
  while (result = BF(S, T, pos)) != -1
    // Print the result (add one to make it start from one instead of zero)
    print "子串在主串中出现了一次，起始位置为" + (result + 1)
    // Update pos to the next position after the match
    pos = result + 1

代码实现

以下是BF算法的C语言代码实现

#include <stdio.h>
#include <string.h>

// BF算法函数，返回子串T在主串S中第pos个字符之后的位置
int BF(char *S, char *T, int pos) {
  int i = pos; // i用于指示主串当前位置
  int j = 0; // j用于指示子串当前位置
  while (i < strlen(S) && j < strlen(T)) { // 两个串都未扫描完
    if (S[i] == T[j]) { // 当前字符匹配成功
      i++; // 继续比较下一个字符
      j++;
    } else { // 当前字符匹配失败
      i = i - j + 1; // 主串回溯到下一个位置
      j = 0; // 子串从头开始匹配
    }
  }
  if (j == strlen(T)) { // 子串扫描完毕
    return i - j; // 返回匹配位置
  } else {
    return -1; // 匹配失败
  }
}

int main() {
  char S[] = "ababcabcacbab"; // 主串
  char T[] = "abcac"; // 子串
  int pos = 0; // 查找起始位置
  int result; // 查找结果
  while ((result = BF(S, T, pos)) != -1) { // 循环查找子串
    printf("子串在主串中出现了一次，起始位置为%d\n", result + 1); // 输出结果（位置从1开始计数）
    pos = result + 1; // 更新查找起始位置
  }
  return 0;
}

分析算法复杂度

建立算法时间复杂度分析模型，并利用计算机统计该算法的执行效率。
BF算法的时间复杂度分析如下：

设主串长度为n，子串长度为m，则最多需要进行n-m+1次比较。
每次比较最多需要进行m次操作（当每个字符都相等时）。
因此，BF算法的最坏情况下的时间复杂度为O((n-m+1)m)。
如果m远小于n，则可以近似为O(nm)。
利用计算机统计该算法的执行效率的方法如下：

可以使用不同长度和内容的主串和子串作为输入数据，测试BF算法在不同情况下的运行时间。
可以使用系统函数或库函数获取当前时间戳，在调用BF算法之前和之后分别获取时间戳，并计算时间差作为运行时间。
可以使用循环多次调用BF算法，并取平均值作为运行时间。
可以使用不同编程语言或编译器实现BF算法，并比较它们之间的运行时间差异。

用例测试

总结

本实验的目的是掌握串匹配算法的基本原理和实现方法，以及分析其时间复杂度和空间复杂度。本实验中，我们实现了BF算法，即暴力匹配算法，它是一种最简单的串匹配算法，其思想是从主串的第一个字符开始，依次和模式串的每个字符进行比较，如果相等则继续比较下一个字符，如果不相等则回溯到主串的下一个字符，重复这个过程直到找到匹配或者遍历完主串。BF算法的优点是易于理解和实现，不需要预处理模式串，适用于任何类型的字符集。BF算法的缺点是效率较低，最坏情况下的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别是主串和模式串的长度，空间复杂度为O(1)。