1.KKT函数

通过调用yalmip工具箱中的KKT函数，可以直接求出优化问题的KKT条件，省去自己手动写的步骤，函数用法如下：

[KKTsystem, details] = kkt(Constraint,Objective,z)

其中z表示优化变量，KKTsystem存储KKT条件的约束表达式，details是一个结构体变量，用于存储KKT条件的细节。以上一篇博客中双层优化问题的下层优化问题为例：

matlab代码：

%% 目标函数和约束条件
x=sdpvar(1);
y=sdpvar(1);
Constraints=[-3*x+y <= -3 , 3*x+y <= 30];
objective=-y;
[KKTsystem, details] = kkt(Constraints,objective,x);

运行结果：

将下层优化的KKT条件作为约束添加到上层优化中，就可以求出这个双层优化的结果：

%% 清空
clc
clear
close all
warning off
%% 目标函数和约束条件
x=sdpvar(1);
y=sdpvar(1);
Constraints_down=[-3*x+y <= -3 , 3*x+y <= 30];
objective_down=-y;
[KKTsystem , details] = kkt(Constraints_down,objective_down,x);
Constraints_up=[2*x-3*y >= -12 , x+y <= 14];
objective_up=-x-2*y;
ops=sdpsettings('verbose', 0 , 'solver', 'gurobi');
result=optimize([KKTsystem,Constraints_up,boundingbox([Constraints_up,Constraints_down])],objective_up,ops);
%% 输出模型
saveampl(KKTsystem,objective_down,'KKT_model');
%% 输出结果
disp(['最优解：x=',num2str(value(x)),',y=',num2str(value(y))])
disp(['最优函数值=',num2str(value(objective_up))])

求解的结果如下：

和上一篇博客手动写KKT的求解结果一致。

上面的例子是一个简单的线性双层优化问题，yalmip官方文档中给出了使用KKT函数求解非线性双层优化的例子。这个双层优化问题如下：

一样可以用KKT函数求解，代码如下（这是官网提供的代码）：

sdpvar x1 x2 y1 y2 y3

OO = -8*x1-4*x2+4*y1-40*y2-4*y3;
OO = OO+OO^2;
CO = [x1>=0, x2>=0];

OI = (x1+2*x2+y1+y2+2*y3)^2;
CI = [[y1 y2 y3] >= 0,
       -y1+y2+y3 <= 10,
      2*x1-y1+2*y2-0.5*y3 <= 10,
      2*x2+2*y1-y2-0.5*y3 <= 9.7];

[K,details] = kkt(CI,OI,[x1 x2])
optimize([K,CO,boundingbox([CI,CO]),details.dual<=100],OO)

求解结果为：

最优目标函数为-0.25

x1=0.0625,x2=0,y1=0,y2=0,y3=0。

2.solvebilevel函数

solvebilevel是yalmip工具箱内置的求解双层优化问题的函数。也就是通过这个函数，不需要咱手动写KKT条件，也不需要使用KKT函数，直接把上、下层优化的目标函数、约束条件往里面一放，就能求出结果。

代码如下：

%% 清空
clc
clear
close all
warning off
%% 目标函数和约束条件
x=sdpvar(1);
y=sdpvar(1);
Constraints_down=[-3*x+y <= -3 , 3*x+y <= 30];
objective_down=-y;
Constraints_up=[2*x-3*y >= -12 , x+y <= 14];
objective_up=-x-2*y;
solvebilevel(Constraints_up,objective_up,Constraints_down,objective_down,y)
%% 输出结果
disp(['最优解：x=',num2str(value(x)),',y=',num2str(value(y))])
disp(['最优函数值=',num2str(value(objective_up))])

求解结果如下：