在多因子选股的框架下，因子的产生通常有两条途径：

• 先有逻辑，后有公式：根据经济学逻辑、历史经验、直觉进行人工构造一些因子；
  • 例如：动量（Momentum）因子：当最近的股价呈现连续上升时，认为股价产生了 “动量”，这样的动量会持续一段时间，因此当期股价 相对于前期股价 的涨幅可能决定了一期股价 的走势，那么可以作为一个简单的动量因子，认为它潜在地与未来收益率相关

• 先有公式，后有逻辑：使用大量的历史数据与收益率数据，通过机器学习的方法进行拟合，大批量的生成因子；
  • 例如：利用遗传规划（������� �����������）进行符号回归（�������� ����������）
  • 这就是本文要引入的第一个话题

符号回归 (Symbolic Regression)

从参数估计讲起

有统计学基础的伙伴都知道，许多较为简单的机器学习模型本质是在做参数估计。比如我们想要对X 与Y 之间的关系进行挖掘，我们首先假设他们有如下的关系：
�=�(�)
其中，� 是我们已经假设好，或者挑选好的形式，比如：�(�)=�0+�1�+�2�2

那么我们传统的机器学习，或者说统计回归，都是对参数θ0,�1,�2 进行估算，使得我们根据Y=�(�) 算出的预测值Y^ 与真实值Y 之间的差距尽可能的小，即我们需要：
��� ||�−�^||2
总结之，我们的有如下的流程：

1. 获取已有的样本特征（�������）� 与样本标签（�����）� 数据
2. 人工挑选或构建Y 与X 之间的关系，即模型的显示形式f(�^|�)
3. 通过调整参数θ^，使得预测值与真实值尽可能接近（过拟合的问题不是这里的重点）
4. 完成模型的学习，模型f(�|�) 用于未来的预测等功能

看起来很完美了，那为什么还需要符号回归呢？问题在于f 形式的选取。结合前言的叙述，很容易想到：

• 传统的参数估计思想→给定公式的形式，优化公式的内部（基于参数的优化）
• 所围的符号回归思想→不给定公式的形式，从公式里面挑选（基于公式的优化）

这样，符号回归的意思就很明显了：用各种变量与算子（符号）构造许多公式，用不同的公式去逼近数据的真实分布，达到回归的效果。

符号回归的实现

符号回归听起来很不错，但是怎么实现呢？参数回归本质是在高维空间对参数进行有规律的搜索，从而达到优化目的。符号回归也要在 “符号空间” 里进行搜索吗？实际上是的。

我们假设两个变量 � 和 � 的真实关系就是下面这样：
�=1+�+�2+�3
现在我们有来自这个关系的数据样本：(−1,0),(0,1),(1,4),(2,15)

假设我们随便进行两个猜测：
�����1:�=�+�2; �����2:�=1+�+�2
很明显，�����2 更好，所以我们抛弃了G����1，走向了G����2。

那如果再来一个呢？
�����2:�=1+�+�2; �����3:�=1+�+�2+�3
无疑地，我们从G����2 走向了G����3，我们离 “正确” 答案越来越近了！（甚至已经完美达到了正确答案）

其实以上过程已经大体揭示了遗传规划进行符号回归的大体思路：产生很多公式，然后优中选优，然后再产生，再优中选优…. 总体上，我们会越来越接近。

遗传规划 (Genetic Programming)

基本概念

经过漫长的 General Sense 的讲解，相信可以明白：遗传规划是借鉴了生物种群的进化理论，认为优秀的 “基因”(����)，也就是公式对数据的拟合能力，会在一次又一次的产生、挑选、变异、交叉中被保存、传递。

在开始遗传规划的具体步骤之前，我们需要知道几个基本概念：

• 公式树：任意一个合法的数学公式，都可以改写为一棵树（����）

  ​ 例如：�=�02−3�1+0.5 可以改写为：�=�0×�0−3×�0+0.5，转换为一个 S - 表达式（�−����������）即为：�=(+(−(×�0�0)(×3�1))0.5)，那么他的公式树就长成这个样子：

  

• 变量 / 常数：公式树的叶子，含一个数值

• 算子：公式树的结点，是一个对变量 / 常数的运算函数

主要步骤

由以上基础，遗传规划的主要步骤如下：

1. 定义算子库与变量 / 常数库：首先要清楚你有几个变量、叫什么名字，有哪些算子、算子的具体内容；

   • 算子库例如：+、-、×、÷、平方根、相反数….
   • 变量库例如：开盘价、收盘价、交易量…

2. 生成公式种群：从因子库和变量库里获取元素，随机组成若干公式树，这是 “公式种群”；

3. 定义适应度函数：“选优” 的标准是什么？需要定义一个函数评估公式的优劣，很明显，适应度函数通常（只是通常）衡量通过公式计算的结果与真实数据的差距；

   • 例如：评价X 的一个适应度函数F(�)=||����(�)−(�2)||1，衡量根据公式树t���(·) 计算的结果t���(�) 和y=�2 之间的差的一范数

4. 自然选择 / 选优：从公式种群中，挑选适应度最高（或最低）的一批公式，作为优种；

5. 交叉组合与基因变异：

   • 很明显，这都是从自然进化中启发而来的，主要是为了保持公式树的多样性，提升公式树种群的 “潜力”

   • 具体来说，是在不同的公式树之间进行：

     • 交叉 (���������)：

     

     • 子树变异 (������� ��������)

     

     • Hoist 变异 (����� ��������)

     

     • 点变异 (����� ��������)

     

6. 循环进行 4-5，直到达到设定的条件

因子挖掘

很明显，遗传规划算法可以用于因子挖掘，只需要将对应的基础概念代入即可：

• 公式树 → 用一些基础因子组合成的新因子
• 变量 / 常数 → 基础因子
  • 例如：最基本的 “开高低收” 这样的行情属性）
• 算子 → 基础算子（+ - × ÷）或时序算子（MA）等

遗传迭代的过程，即代表因子挖掘的过程：

• 公式种群 → 一批挖出的因子
• 适应度函数 → 评估因子的一些指标
  • 例如：因子暴露与一期收益的相关系数I�
• 自然选择 / 选优 → 选择评价最好的因子，传入下一代

反思：为什么要用 Genetic Programming？

用一个模型不是为了用而用。遗传规划之所以可以用于尝试因子挖掘的一个方向，笔者认为有如下几个原因：

1. 生成海量新因子：在生成初代种群的时，可以快速生成海量的新因子；
2. 遗传迭代的过程模拟了 “符号搜索” 的过程：通过每一代的选优，可以快速对符号结构进行筛选和优化；
3. 保留符号的变异性、多样性，防止过拟合速度过快：在每一代的繁殖过程中，交叉和变易保证了新因子结构的潜力，从而可以防止过快的过拟合。