1 线性方程

1.1 定义

一阶微分方程：形式上能化成$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$的方程，叫做一阶线性微分方程。

一阶齐次微分方程：如果$Q(x)\equiv 0$,那么方程称为奇次的；

一阶非齐次微分方程：如果$Q(x)\not\equiv 0$,那么方程称为非齐次的。

注：

• n介线性微分方程：$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+\cdots +a_n(x)y=f(x)$；
• 一阶线性微分方程对应的齐次方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$

1.2 解法（常数变易法）

1）先解对应的齐次方程
$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}+P(x)y=0 \\ 变量分离积分，\int \frac{dy}{y}=-\int P(x)dx \\ \Rightarrow \ln |y|=-\int P(x)dx+C_1\Rightarrow y=C{e}^{-\int P(x)dx},C=\pm e_1^C \end{gathered}$$
2）常数变易

• 分析：

  • 方程变形：$\frac{dy}{dx}=-P(x)y+Q(x)$,一阶导数为两项之后；

  • 我们已经求的对应齐次方程通解：$y=C{e}^{-\int P(x)dx}$;

  • 假设非齐次方程的通解：$y=u(x)e^{-\int P(x)dx}$;

  • 带入原方程求导。
    $$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=u^{{}^{\prime }}{e}^{-\int P(x)dx}-uP(x)e^{-\int P(x)dx}(4-3) \\ y=u(x)e^{-\int P(x)dx}(4-4) \\ 带入原方程，u^{{}^{\prime }}{e}^{-\int P(x)dx}-uP(x)e^{-\int P(x)dx}+uP(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x) \\ {u}^{{}^{\prime }}=Q(x)e^{\int P(x)dx},两端积分 \\ u=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C \\ 带入(4-4),便得非齐次线性方程的通解 \\ y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}+C] \\ 两项之和形式，y=C{e}^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx \end{gathered}$$

注：

• 对方程进行整理，化为标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x0)$;
• $y=C{e}^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$,为齐次方程通解+非齐次方程的一个特解；
• 非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程的一个特解。

1.3 例题

例1 求解$(x+1)\frac{dy}{dx}-2y=(x+1{)}^{\frac{7}{2}}$
$$\begin{gathered} 变形，\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x+1}y=(x+1{)}^{\frac{5}{2}} \\ 方程为一阶线性微分方程，带入公式通解公式：y=e^{-\int P(x)dx[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}+C]} \\ {e}^{-\int P(x)dx}=e^{-\int (-\frac{2}{x+1})dx}=(x+1{)}^2 \\ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int (x+1{)}^{\frac{5}{2}}(x+1{)}^{-2}dx=\frac{2}{3}(x+1{)}^{\frac{3}{2}}则原方程通解，y=(x+1{)}^2[\frac{2}{3}(x+1{)}^{\frac{3}{2}}+C] \end{gathered}$$

例2 求解$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x-y^2}$
$$\begin{gathered} 解：以y为自变量变形 \\ \frac{dx}{dy}-\frac{2}{y}x=-y,为一阶线性微分方程 \\ 方程通解，x=e^{-\int P(y)dy}[\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy+C_1] \\ 其中，P(y)=\frac{-2}{y},Q(y)=-y,带入通解 \\ x=e^{-\int \frac{-2}{y}dy}[\int (-y)e^{\int \frac{-2}{y}dy}dy+C_1] \\ =y^2(-\ln |y|+C),C_1,C\in R \end{gathered}$$
例3 假设

（1）函数$y=f(x)(0<x<+\infty )满足条件f(0)=0和0\le f(x)\le e^x-1$;

（2）平行于y轴的动直线MN与曲线$y=f(x)和y=e^x-1$分别相交于$p_1和P_2$;

（3）曲线$y=f(x),直线MN和x轴$围成平面图像的面积S恒等于线段$P_1{P}_2$的长度。

求函数$y=f(x)$的表达式，如下图3-1所示：

$$\begin{gathered} 解：\because S_{O{P}_{1}M}\equiv P_1{P}_2,即 \\ {\int }_0^{x}f(t)dt=e^x-1-y \\ 对上式求导得,y=e^x-\frac{dy}{dx}\Rightarrow \frac{dy}{dx}+y=e^x(一阶微分方程) \\ 上式通解公式,y=e^{\int -dx}[\int e^x{e}^{\int dx}+C_1]=e^{-x}(\frac{1}{2}{e}^{2x}+C) \\ 初值条件y{|}_{x=0}=0,带入通解，C=-\frac{1}{2} \\ 即函数表达式为，y=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \end{gathered}$$

2伯努利方程

方程, $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$，叫做伯努利方程。

• 当$n=0或者1$时，这是线下微分方程
• 解法如下

$$\begin{gathered} 解：（1）分离非齐次 \\ {y}^n除方程两端,y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) \\ 变形，\frac{d(y^{1-n})}{dx}+(1-n)P(x)y^{1-n}=(1-n)Q(x) \\ (2)变量代换 \\ 令z=y^{1-n},带入上式，\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)(一阶线性微分方程） \\ (3)求解新方程通解，将z=y^{1-n}带回 \end{gathered}$$

例4 求解$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=a\ln x\cdot y^2$
$$\begin{gathered} 解：(1)y^{-2}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}{y}^{-1}=a\ln x \\ -\frac{d{y}^{-1}}{dx}+\frac{1}{x}{y}^{-1}=a\ln x \\ (2)令z=y^{-1},则\frac{dz}{dx}-\frac{1}{x}z=-a\ln x解得，z=x[C-\frac{a}{2}(\ln x{)}^2] \\ (3)z=y^{-1}带回，得yx[C-\frac{a}{2}(\ln x{)}^2]=1 \end{gathered}$$

3 简单变量替换解方程

例5 ①$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+y}$ ②$\frac{dy}{dx}=\frac{e^y+3x}{x^2}$
$$\begin{gathered} 解：①方法一，把y看做自变量 \\ \frac{dx}{dy}-x=y,一阶线性微分方程,按照解一阶线性微分方程的方式解即可 \\ 方法二，令u=x+y,则\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}-1 \\ \frac{du}{dx}=\frac{u+1}{u}\Rightarrow \frac{u}{u+1}du=dx可分离变量 \\ 解得u-\ln |u+1|=x+c \\ u=x+y带回，y-\ln |x+y+1|=C \\ ②令u=e^y,\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\frac{du}{dx} \\ \frac{1}{u}\frac{du}{dx}=\frac{u+3x}{x^2} \\ \frac{du}{dx}-\frac{3}{x}u=\frac{1}{x^2}{u}^2,伯努利方程 \\ 解得,e^y(\frac{C}{x^3}-\frac{1}{2x})=1 \end{gathered}$$

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p314-320.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p45.