磁链定向和模型简化

原模型

dq同步坐标系下的模型：DFIG控制10：双馈发电机的动态模型_Fantasy237的博客
电压方程：
$\begin{cases} u_{sd} &= R_si_{sd}+\frac{d}{dt}\psi_{sd}-\omega_e\psi_{sq}\\ u_{sq} &= R_si_{sq}+\frac{d}{dt}\psi_{sq}+\omega_e\psi_{sd}\\ u_{rd} &= R_ri_{rd}+\frac{d}{dt}\psi_{rd}-\omega_{s1}\psi_{rq}\\ u_{rq} &= R_ri_{rq}+\frac{d}{dt}\psi_{rq}+\omega_{s1}\psi_{rd} \end{cases}$

磁链方程：
$\begin{cases} \psi_{sd} &=L_si_{sd}+L_Mi_{rd}\\ \psi_{sq} &=L_si_{sq}+L_Mi_{rq}\\ \psi_{rd} &=L_ri_{rd}+L_Mi_{sd}\\ \psi_{rq} &=L_ri_{rq}+L_Mi_{sq} \end{cases}$

磁链方程简化

磁链定向后，定子磁链与d轴重合，如下图左。电压定向后，定子电压和q轴重合。稳态下，两种定向方式的最终得到的磁链和电压的角度差异不大，但是模型不同。这里只介绍稳态下的磁链定向矢量控制。

磁链方程得到简化，定子磁链只有d轴分量，q轴分量为0。因为变换器连接在转子侧，能控制的是转子电压（从而间接控制转子电流和定子电流），因此先把转子磁链都用转子电流表示，消去定子电流：
$\begin{align*} \psi_{sd} &=L_si_{sd}+L_Mi_{rd}=\psi_{s} \rightarrow i_{sd}=\frac{\psi_{s}}{L_{s}}-\frac{L_{M}}{L_{s}}i_{rd}\\ \psi_{sq} &=L_si_{sq}+L_Mi_{rq}=0 \rightarrow i_{sq}=-\frac{L_{M}}{L_{s}}i_{rq}\\ \psi_{rd} &=\left(L_{r}-\frac{L_{M}^{2}}{L_{s}}\right)i_{rd}+\frac{L_{M}}{L_{s}}\psi_{s}\\ \psi_{rq} &=L_ri_{rq}- \frac{L_{M}^{2}}{L_{s}}i_{rq} \end{align*}$

电压方程简化

稳态时，定子磁链幅值不变，微分为0，并且忽略绕组的压降，对定子电压方程再做简化。可以根据 $u_{sq}$ 来简单估计磁链幅值。定子电压大约超前定子磁链90°，因此定子电压矢量大致在q轴附近。
$\begin{align*} u_{sd} &= R_si_{sd}+\frac{d}{dt}\psi_{sd}-\omega_e\psi_{sq}\approx 0\\ u_{sq} &= R_si_{sq}+\frac{d}{dt}\psi_{sq}+\omega_e\psi_{sd}\approx \omega_e\psi_{sd}\\ \end{align*}$

把前面的简化磁链表达式代入转子电压方程，并代入漏磁系数 $\sigma L_{r}= L_{r}- \frac{L_{M}^{2}}{L_{s}}$ ：
$\begin{align*} u_{rd} &= R_ri_{rd}+ \sigma L_{r}\frac{d i_{rd}}{dt}-\omega_{s1}\sigma L_{r}i_{rq}+ \left(\frac{L_{M}}{L_{s}}\frac{d}{dt}\psi_{s}\approx 0 \right)\\ u_{rq} &= R_ri_{rq}+\sigma L_{r}\frac{d i_{rq}}{dt}+\omega_{s1}\sigma L_{r}i_{rd}+\omega_{s1}\frac{L_{M}}{L_{s}} \psi_s \end{align*}$
可以看到，转子的d轴电压和dq轴的电流都有关，q轴电压也是这样，存在耦合关系。

电流环

以d轴为例，根据电压方程，写出电压到电流的传递函数：
$\frac{i_{r}(s)}{u_{rd}(s)+\omega_{s1}\sigma L_{r}i_{rq}(s)}=\frac{1}{R_{r}+\sigma L_{r}s}$
画成框图：

其中， $u_{rd}$ 是转子侧变换器输出的d轴转子绕组电压。目标是通过调节 $u_{rd}$ 来控制转子电流 $i_{rd}$ 。写出电流控制器的输出：
$u_{rd}=T_{PI}(s)(i_{rd}^{*}-i_{rd})-\omega_{s1}\sigma L_{r}i_{rq}$
其中包含了解耦项。把控制器也画进框图：

可以看到抵消耦合项后，就是一个二阶系统+PI控制器的形式，并且，在dq同步坐标系中，稳态下都是直流量。
另外可参考：DFIG控制6-b：电流环分析_Fantasy237的博客
q轴电流环也类似，只是解耦的表达式不同。其实也可以不加入解耦项，对稳态没有影响，只是动态性能比较差。

控制系统

控制系统如下，图片来自：H. Abu-Rub, M. Malinowski, and K. Al-Haddad, Power Electronics for Renewable Energy Systems, Transportation and Industrial Applications. John Wiley & Sons, 2014.

dq轴的电流环和解耦，同上文描述。
通过PLL获得定子电压相位，根据定子电压和磁链相位的大致关系，减去90°，得到定子磁链相位 $\theta_{s}$ 。
注意图中的 $\theta_{r}$ 即转差角度 $\theta_{s1}$ ，（转差角度=定子磁链角度-转子电角度）。（不想自己画图，导致记号有点混乱）。至于为什么park变换的角度是 $\theta_{s1}$ ，可见：DFIG控制10：双馈发电机的动态模型_Fantasy237的博客。大致的理解：由于转子两相坐标系和转子一起在旋转（角度为 $\theta_{r}$ ），为了把转子的物理量从转子两相坐标系转换到dq同步坐标系（角度为 $\theta_{s}$ ），需要补偿的角度是转差角 $\theta_{s1}=\theta_{s}-\theta_{r}$ 。
注意控制时是把物理量的数值都换算到定子侧，但是最终的输出需要再换算到转子侧。

接下来的问题是：d轴和q轴的电流参考值怎么计算？

无功功率和d轴电流

这里的指的是定子侧的无功功率 $Q_{S}$ 。
因为定子电压基本和q轴重合（ $u_{s}=u_{sq},\;u_{sd}=0$ ），无功功率只和d轴电流有关：
$Q_{s}^{*}=\frac{3}{2}u_{sq}i_{sd}=\frac{3}{2}u_{sq}(\frac{\psi_{s}}{L_{s}}- \frac{L_{M}}{L_{s}}i_{rd}^{*})$

3/2的系数是因为使用了等幅值的Clarke变换。
无功功率取正值，因为按这个方向看，电压超前电流，为感性

根据之前得到的定子和转子电流的关系，可以根据定子无功功率的表达式来计算所需的转子d轴电流参考值。

有功功率和q轴电流

有功功率

定子侧的有功功率 $P_s$ 只和q轴电流有关，同样可以用转子电流来表示：
$P_{s}^{*}=\frac{3}{2}u_{sq}i_{sq}=-\frac{3}{2}\frac{L_{M}}{L_{s}}u_{sq}i_{rq}^{*}$
根据所需的有功功率，可以计算转子q轴电流参考值。

转矩

另外，也可以根据所需的转矩来计算转子q轴电流参考值。
转矩公式见：DFIG控制10-b：双馈发电机的转矩方程推导_Fantasy237的博客
使用与转子电流相关的表达式：
$\begin{align*} T_{e}^{*}&= \frac{1.5n_{p}L_{M}}{L_{s}}(\psi_{sq}i_{rd}-\psi_{sd}i_{rq})\\ &= \frac{1.5n_{p}L_{M}}{L_{s}}(-\psi_{sd}i_{rq}^{*})\\ &= \frac{1.5n_{p}L_{M}}{L_{s}}(-\frac{u_{s}}{\omega_{e}} i_{rq}^{*}) \end{align*}$

最终的控制系统

加入电流参考值的计算，控制系统变为：
图片来自：G. Abad, J. Lopez, M. Rodriguez, L. Marroyo, and G. Iwanski, Doubly Fed Induction Machine: Modeling and Control for Wind Energy Generation. John Wiley & Sons, 2011.