[POJ - 1015]Jury Compromise（01背包问题）
- 一、问题
- 二、分析
- 1、状态表示
- 2、状态转移
- 3、方案输出
- 三、代码
一、问题
二、分析
这道题可以转化为一个01背包问题，问题描述可以改为，每个物品具有两个属性 a a a和 b b b，我们需要在前 n n n个物品里选 m m m个。然后将我们选择的 m m m个物品的属性 a a a的总和记作 s u m a sum_a suma，属性 b b b的总和记作 s u m b sum_b sumb。我们要保证我们选择的 ∣ s u m a − s u m b ∣ |sum_a-sum_b| ∣suma−sumb∣是最小的。如果存在多种方案，都能够使得最后的绝对值是最小的，我们就需要在里面找出一个最大的 s u m a + s u m b sum_a+sum_b suma+sumb的方案。
1、状态表示
这道题的难度其实就难在状态表示，当状态表示相出来以后，其实这道题就好写很多了。
当题目中有多个限制条件的时候，我们常常将其中一个限制条件当作状态中的一个维度。
f [ i ] [ j ] [ k ] f[i][j][k] f[i][j][k]表示在前 i i i个人里选 j j j个，且 s u m a − s u m b sum_a-sum_b suma−sumb的数值为 k k k的条件下， s u m a + s u m b sum_a+sum_b suma+sumb的最大值。
这里面需要注意一个问题，就是在状态定义的过程中，我们的 s u m a − s u m b sum_a-sum_b suma−sumb可能是一个负数，但是我们的数组只能存正数。所以我们需要给它加上一个偏移量。
根据题目的数据范围，我们的 s u m a − s u m b sum_a-sum_b suma−sumb的范围是 [ − 400 , 400 ] [-400,400] [−400,400]，我们可以设置一个变量 b a s e = 400 base=400 base=400，然后将这个 b a s e base base加到我们的区间上，此时我们的区间范围就变成了 [ 0 , 800 ] [0,800] [0,800]就实现了一个映射关系，从而解决了数组越界的问题。
2、状态转移
既然是一个背包问题，我们就可以根据第
i
i
i个物品选或者不选来写转移方程。
f
[
i
]
[
j
]
[
k
]
=
m
a
x
(
f
[
i
−
1
]
[
j
]
[
k
]
,
f
[
i
−
1
]
[
j
−
1
]
[
k
−
(
s
u
m
a
−
s
u
m
b
)
]
+
(
s
u
m
a
+
s
u
m
b
)
)
f[i][j][k]=max\bigg(f[i-1][j][k],f[i-1][j-1][k-(sum_a-sum_b)]+(sum_a+sum_b)\bigg)
f[i][j][k]=max(f[i−1][j][k],f[i−1][j−1][k−(suma−sumb)]+(suma+sumb))
3、方案输出
我们 d p dp dp的过程是正序枚举的，那么在方案输出的时候将顺序颠倒过来，同时将转移方程写成 i f if if语句判断即可。
三、代码
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define endl '\n'
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 200 + 10;
int a[N], b[N];
int n,m;
int f[N][60][900];
void solve()
{
int cnt = 0;
while(cin >> n >> m, n || m)
{
cnt ++;
cout << "Jury #" << cnt << endl;
memset(f, -INF, sizeof f);
f[0][0][400] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++ )
cin >> a[i] >> b[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 0; j <= m; j ++ )
for(int k = 0; k <= 800; k ++)
{
f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
if(j >= 1 && k - (a[i] - b[i]) >= 0 && k - (a[i] - b[i]) <= 800)
f[i][j][k] = max(f[i - 1][j - 1][k - (a[i] - b[i])] + a[i] + b[i], f[i][j][k]);
}
int v = 0;
while(f[n][m][400 - v] < 0 && f[n][m][400 + v] < 0)
v++;
if(f[n][m][400 - v] > f[n][m][400 + v])
v = 400 - v;
else
v = 400 + v;
int i = n, j = m, k = v;
vector<int>ans;
while(j)
{
if(f[i][j][k] == f[i - 1][j][k])i--;
else
{
ans.push_back(i);
k -= (a[i] - b[i]);
i--, j--;
}
}
int sa = 0, sb = 0;
for(int x = 0; x < ans.size(); x ++)
{
sa += a[ans[x]];
sb += b[ans[x]];
}
cout << "Best jury has value "<< sa << " for prosecution and value "<< sb << " for defence:" << endl;
sort(ans.begin(), ans.end());
for(int i = 0; i < ans.size(); i ++ )
{
cout << ans[i] << " ";
}
cout << endl << endl;
}
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
solve();
}
