什么是小波

上一篇里提到了stft，短时傅里叶变换，是针对不稳定信号进行加窗来做每一个小窗口的频谱分析。然后一个一个的时间窗就可以理解为时域。
在stft中，窗口的大小是固定的，太大无法分辨，太小又无法获得足够的信息(一个极端的例子就是一个窗口中只有一个信号采样点，那么就根本没有频率的概念了)
一种新的信号分析的方式就是小波变换，也有叫小波分解的，接下来久来讲一讲这个小波变换。

从一个例子入手

假设我们有一个恒定的信号，总共8个信号采样点：
signal = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]
如果要对这个信号中的信号点进行分析的话，可以采用下面一种分析方式：

• 计算每两个信号的平均值，那么这个信号就可以变成：[(1+3)/2=2, (5+7)/2=6, (9+11)/2=10, (13+15)/2=14]，总共4个平均值。这样可以从某种程度上可以描述原信号的一些特征，这就可以称作是一种转换或者说分解，但是如果只有这样一种转换，转换后是无法恢复到原信号的，那么就还需要一点别的信息。
• 在上面的基础上，我们再计算每两个信号点之间的差，再除以二。经过这样的一个变换，我们又可以得到一组变换后的信号值：[(1-3)/2=-1, (5-7)/2=-1, (9-11)/2=-1, (13-15)/2=-1]

得到上面两组变换后，就可以将一个原始信号做一个变换或者说一种分解，而且还可以从这种变换逆变换回去。

把例子再深化一下

看一下小波变换的一般公式：公式一
$$\alpha =W^{T}f$$
其中

• $\alpha$就是转换后的小波系数，分成尺度系数和细节系数，后面会具体提到这两个东西。
• $f$为原信号的函数
• $W^T$为转换矩阵

接着上面的例子，我们可以这么去理解：
$\alpha$就是由平均值和相减除2的值组成的向量：[2，6，10，14，-1，-1，-1，-1]，那么，小波变换的一般公式就可以写成：
$$\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ 10\\ 14\\ -1\\ -1\\ -1\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\\ 7\\ 9\\ 11\\ 13\\ 15\end{array}\right]$$

中间空出来的部分就是我们需要去找到小波变换矩阵。
通过数据计算可以得到下面这样一个矩阵：

然后，他的逆变换的矩阵就是：

对于这个矩阵，有一个约束是要满足数学上的“规范正交化”，这个不是我这篇文章需要关心的内容，有兴趣的朋友可以自行去了解。

各种个样的小波基

回到小波函数的话题上来，如上面的公式一所列的，小波基可以理解为一个一个的这样的变换矩阵，可以把一个原始信号变换成另外一个向量，这个向量可以分成两个部分：

• 尺度部分(注意不是上面的求平均值，上面只是举个例子)，好像也可以称之为高频部分
• 细节部分(注意也不是上面的两个数相减除二，同样上面只是举个例子)，也可以称之为低频部分

哈尔小波

哈尔小波是最简单的一个小波基(变换形式)，haar小波的变换矩阵如下：

我们使用python的一个小波变换库来验证一下这个过程：

import pywt

def demowavelets():
    x = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

    dwt_haar = pywt.dwt(x, wavelet=pywt.Wavelet('haar'))
    print(dwt_haar)


if __name__ == '__main__':
    demowavelets()

dwt是表示用的离散小波变换，还有一个是连续小波变换，这个后面再详细说，先了解一下。
看一下输出是：
(array([1.41421356, 1.41421356, 1.41421356, 1.41421356]), array([0., 0., 0., 0.]))

这里是两个数组，分别是上面的尺度部分和细节部分。
当然恰好哈尔小波变换和我们的例子很类似：

• 尺度部分是两个数字相加再取根号，所以四个1.414
• 细节部分和例子中的结果碰巧是一样的，是四个0，换成别的就不一样了

有兴趣的朋友自己用矩阵计算的方式来计算一下。

这里有个问题是，如果不够变换的长度或者不满足要求的话，就会有一个补齐的动作，可以参考pywt官网的说明：
https://pywavelets.readthedocs.io/en/latest/ref/signal-extension-modes.html?highlight=padding#padding-using-pywavelets-signal-extension-modes-pad

默认是constant：
也就是根据最前或者最后的一个采样数据补充常量：
… x1 x1 | x1 x2 … xn | xn xn …

其他小波

还有很多的小波种类，文章里就不一一列举了，我自己也没接触过几种，从网上搬了一个列表过来(侵删)，有兴趣的朋友自行深入了解吧

也可以通过
print(pywt.families())
来输出pywt这个库支持哪些小波变换。

小波分解

小波分解的概念就是对其中一个部分进行不同层级的小波变换，一般来说是尺度部分。
可以理解上面提到的过程是就是第一层分解，对尺度部分再做一次小波变换，就可以叫做第二层，当然我们不需要自己去写循环进行分解，可以使用一个函数：
pywt.wavedec

dwt_one = pywt.wavedec(x, wavelet=pywt.Wavelet('haar'), level=2)

print(dwt_one)

输出就会变为：
[array([2., 2.]), array([0., 0.]), array([0., 0., 0., 0.])]
相当于对尺度部分做了两次变换，或者说分解。

当缩小到一个值的时候就不能再分解了，也就是这个信号的level最多只能是3

图像(二维)小波变换

图像是一个二维数据，我们对图像的行和列都做一下小波变换，就是2D小波变换了，这里存在一个顺序的问题，是先对行做还是先对列做的问题。

• 先把行分解到最精细，然后再分解列的方法叫做 standard decomposition
• 而行列交替分解的方法叫做 non-standard decomposition。

在pywt库中也提供了一个二维dwt的函数：
dwt2，这个函数的输出结果是

从物理含义上理解，第一象限从行的角度上来理解，是高频部分的数据，从列上来理解，也是高频部分的数据，所以是整张图像的高频部分。
然后，对于图像来说，高频一般出现在物体的边缘部分，想想看，只有像素值发生了较大的改变，这个东西才叫边缘。所以小波变换是提取物体边缘的一个很有用的工具。

一段demo，一般来说，变换后的图像是要做一些转换的，因为dwt之后的数字就不一定在0-255之间了。

img1 = np.zeros((100, 100, 3), dtype="uint8")
cv2.rectangle(img1, (60, 20), (70, 70), (255, 255, 255), 5)
cv2.rectangle(img1, (80, 20), (90, 70), (255, 255, 255), 5)
img1 = cv2.cvtColor(img1, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

result = pywt.dwt2(img1, wavelet=pywt.Wavelet('haar'), mode='constant')

cv2.imshow("origin", img1)
img_dwt = result[0]

cv2.imshow("dwt", img_dwt)

cv2.waitKey(0)

cv2.destroyAllWindows()

实际上，每个象限都有其含义：

• 第一象限的A表示一个“近似矩阵”
• 第二象限的V表示一个“垂直细节”
• 第三象限的H表示一个“水平细节”
• 第四象限的D表示一个“对角细节”

可以针对不同的需求取不同的数据进行处理和过滤，形成对特有图像的滤波器。