算法的时间复杂度和空间复杂度
- 一、算法效率
- 二、时间复杂度
- 1. 时间复杂度的概念
- 2. 大O的渐进表示法
- 3. 常见时间复杂度计算举例
- 三、空间复杂度
一、算法效率
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
二、时间复杂度
1. 时间复杂度的概念
在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
下面的Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
Func1 的执行的基本操作次数 ：N^2 + 2*N + 10
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
2. 大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N^2);
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
3. 常见时间复杂度计算举例
（1）计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
在for循环里面循环了2N次，即执行了2N次操作，while循环执行了10次；N前的系数和10可忽略.
所以时间复杂度为： O(N)
（2）计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
因为有两次for循环，第一个执行了M次，第二执行了N次，所以时间复杂度为：O(M+N)
（3） 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
在一层for循环中执行了100次，即常数次，所以时间复杂度为：O(1)
O(1)不是代表1次，而是表示为常数次；
（4）计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );
//strchr 类似与以下的循环：
while (*str)
{
if (*str == character)
return str;
else
str++;
}
因为这个循环是在字符串中找到指定的字符，而且不知道这个字符串的长度，所以最坏的情况是遍历完整个字符串，假设字符串的长度为N，它的时间复杂度就是：O(N)
（5） 计算BubbleSort（冒泡排序）的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
冒泡排序的思想是需要两次循环，一次是确定趟数，一次是确定比较的次数，在每一趟里面进行比较，所以是在for循环里面嵌套for循环，所以时间复杂度为：O(N^2)
（6）计算BinarySearch（二分查找法）的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n - 1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
if (a[mid] < x)
begin = mid + 1;
else if (a[mid] > x)
end = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}
二分查找的思想是，每次折半寻找需要查找的数，假设mid为折半的数，要找的数比mid小，就把右边界更新成mid，继续折半更新mid；假设有N个数，折半x次，即执行了x次：
N/2/2/2/2… = 1；
那么N = 2^x
所以x = logN（默认以2为底）
所以时间复杂度为：O(logN)
（7）计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}
因为一共递归了N次，所以执行了N次操作，时间复杂度为：O(N);
若在以上递归条件下加一层循环：
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
for (int i = 0; i < N; i++)
{
//......;
}
return Fac(N - 1) * N;
}
在每一次进行递归的时候，都要执行N次循环，N是随着递归的变化而变化的，所以时间复杂度为：O(N^2)
（8）计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
三、空间复杂度
- 空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
- 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
- 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
如：
（1）计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
只有常量个变量，所以空间复杂度为：O(1)
（2）计算Fibonacci的空间复杂度？
返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if (n == 0)
return NULL;
long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
}
return fibArray;
}
因为用malloc开辟了n+1个空间，所以空间复杂度为：O(N)
（3）计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
因为递归了N次，每递归一次就开辟一个栈帧，所以空间复杂度为：O(N)
（4）计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
递归的空间复杂度是在意这个递归有多深，至于在某一层中有多少个递归无所谓，因为在递归过程中先创建的是第一个函数的栈帧；
如下图，Fib(N)先创建的是Fib(N-1)的栈帧，然后在Fib(N-1)中，创建Fib(N-2)的栈帧，由此类推，一直到Fib(3)，再到Fib(2)，当Fib(2)可以直接返回时，先销毁Fib(2)，然后再创建Fib(1)的栈帧使用，可以理解为Fib(2)和Fib(1)使用同一个空间；同理Fib(3)和Fib(2)也是使用同一个空间；
所以，递归的空间复杂度只是看这个递归有多深；所以斐波那契递归Fib的空间复杂度为：O(N)
