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- 有限元中四面体的相关积分公式
有限元中四面体的相关积分公式
在
x
y
z
xyz
xyz 坐标系中通过四个点
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
,
(
x
j
,
y
j
,
z
j
)
,
(
x
m
,
y
m
,
z
m
)
,
(
x
p
,
y
p
,
z
p
)
(x_i, y_i, z_i), (x_j, y_j, z_j), (x_m, y_m, z_m), (x_p, y_p, z_p)
(xi,yi,zi),(xj,yj,zj),(xm,ym,zm),(xp,yp,zp) 定义一个四面体， 令坐标原点位于四面体的中心，即
x
i
+
x
j
+
x
m
+
x
p
4
=
y
i
+
y
j
+
y
m
+
y
p
4
=
z
i
+
z
j
+
z
m
+
z
p
4
=
0
\frac{x_i + x_j + x_m + x_p}{4} = \frac{y_i + y_j + y_m + y_p}{4} = \frac{z_i + z_j + z_m + z_p}{4} = 0
4xi+xj+xm+xp=4yi+yj+ym+yp=4zi+zj+zm+zp=0
针对整个四面体的体积公式有：
∫ d x d y d z = 1 6 ∣ 1 x i y i z i 1 x j y j z j 1 x m y m z m 1 x p y p z p ∣ = V = 四面体体积 \int dxdydz = \frac{1}{6} \begin{vmatrix} 1 & x_i & y_i & z_i\\ 1 & x_j & y_j & z_j\\ 1 & x_m & y_m & z_m\\ 1 & x_p & y_p & z_p \end{vmatrix} = V = 四面体体积 ∫dxdydz=61 1111xixjxmxpyiyjymypzizjzmzp =V=四面体体积
如果节点按照下图所示次序进行编号， 那么有以下一些重要的积分公式：
∫ x d x d y d z = ∫ y d x d y d z = ∫ z d x d y d z = 0 \int x dxdydz = \int y dxdydz = \int z dxdydz = 0 ∫xdxdydz=∫ydxdydz=∫zdxdydz=0
∫ x 2 d x d y d z = V 20 ( x i 2 + x j 2 + x m 2 + x p 2 ) \int x^2 dxdydz = \frac{V}{20}(x_i^2 + x_j^2 + x_m^2 + x_p^2) ∫x2dxdydz=20V(xi2+xj2+xm2+xp2)
∫ y 2 d x d y d z = V 20 ( y i 2 + y j 2 + y m 2 + y p 2 ) \int y^2 dxdydz = \frac{V}{20}(y_i^2 + y_j^2 + y_m^2 + y_p^2) ∫y2dxdydz=20V(yi2+yj2+ym2+yp2)
∫ z 2 d x d y d z = V 20 ( z i 2 + z j 2 + z m 2 + z p 2 ) \int z^2 dxdydz = \frac{V}{20}(z_i^2 + z_j^2 + z_m^2 + z_p^2) ∫z2dxdydz=20V(zi2+zj2+zm2+zp2)
∫ x y d x d y d z = V 20 ( x i y i + x j y j + x m y m + x p y p ) \int xy dxdydz = \frac{V}{20}(x_iy_i + x_jy_j + x_my_m + x_py_p) ∫xydxdydz=20V(xiyi+xjyj+xmym+xpyp)
∫ y z d x d y d z = V 20 ( y i z i + y j z j + y m z m + y p z p ) \int yz dxdydz = \frac{V}{20}(y_iz_i + y_jz_j + y_mz_m + y_pz_p) ∫yzdxdydz=20V(yizi+yjzj+ymzm+ypzp)
∫ z x d x d y d z = V 20 ( z i x i + z j x j + z m x m + z p x p ) \int zx dxdydz = \frac{V}{20}(z_ix_i + z_jx_j + z_mx_m + z_px_p) ∫zxdxdydz=20V(zixi+zjxj+zmxm+zpxp)
