四轴斜转魔方

1，魔方三要素

（1）组成部件

8个角块和6个中心块

把8个角块编号12345678，分别对应上层的左上、右上、左下、右下以及下层的。

（2）可执行操作

斜转魔方既可以理解成四轴三阶魔方，也可以理解成八轴三阶魔方。

如果认为是8种操作的话，那么可以分成四组，任意一组的2个操作各执行1次或2次加起来都相当于魔方整体旋转。

按照4种操作理解的话，每种操作都会改变3个角块的位置，另外5个角块位置不变，这4个操作影响的3个角块分别是：167、258、358、467

（3）目标态

（3.1）形状

任意一次操作之后，魔方都是正方体，最后也自然是正方体。

（3.2）颜色

8个角块可以唯一确定6个面的位置关系。

2，公式推导

（1）调整8个角块位置

先调整4个角块的位置，此时可能出现的情况，可以用bfs算一下：

string f1(string s)
{
	char c = s[3];
	s[3] = s[6], s[6] = s[5], s[5] = c;
	return s;
}
string f2(string s)
{
	char c = s[2];
	s[2] = s[4], s[4] = s[7], s[7] = c;
	return s;
}
string f3(string s)
{
	char c = s[0];
	s[0] = s[6], s[6] = s[5], s[5] = c;
	return s;
}
string f4(string s)
{
	char c = s[1];
	s[1] = s[4], s[4] = s[7], s[7] = c;
	return s;
}

void bfs()
{
	string s = "12345678";
	queue<string>q;
	q.push(s);
	map<string, int>m;
	m[s] = 1;
	while (!q.empty())
	{
		string str = q.front();
		q.pop();
		string s = f1(str);
		if (!m[s])m[s] = 1, q.push(s);
		s = f2(str);
		if (!m[s])m[s] = 1, q.push(s);
		s = f3(str);
		if (!m[s])m[s] = 1, q.push(s);
		s = f4(str);
		if (!m[s])m[s] = 1, q.push(s);
	}
	for (auto mi : m) {
		bool flag = true;
		for (int i = 0; i < 4; i++)if (mi.first[i]>'4')flag=false;
		if(flag)cout << mi.first << endl;
	}
}

输出：

12345678
13248675
42315768
43218765

去掉对称性结果，只有13248675一种情况需要调整位置，只需要朴素的三次操作即可。

（2）调整6个中心块位置

以8、5、3为轴顺时针各一次，8个角块的位置不变，左下中心块互换，另外4个中心块轮换。

为了方便，我们把这个叫做853操作。

把6个中心块编号为1上2下3前4后5左6右，则853操作对中心块的位置影响是123456->451623

另外3个操作（674、582、761）的影响依次是532641、365142、645213

于是我们可以就可以推导中心块调整位置的公式：

string f1(string s)
{
	char c = s[2];
	s[2] = s[5], s[5] = c;
	c = s[1];
	s[1] = s[4], s[4] = s[6], s[6] = s[3], s[3] = c;
	return s;
}
string f2(string s)
{
	char c = s[2];
	s[2] = s[3], s[3] = c;
	c = s[1];
	s[1] = s[5], s[5] = s[4], s[4] = s[6], s[6] = c;
	return s;
}
string f3(string s)
{
	char c = s[2];
	s[2] = s[6], s[6] = c;
	c = s[1];
	s[1] = s[3], s[3] = s[5], s[5] = s[4], s[4] = c;
	return s;
}
string f4(string s)
{
	char c = s[2];
	s[2] = s[4], s[4] = c;
	c = s[1];
	s[1] = s[6], s[6] = s[3], s[3] = s[5], s[5] = c;
	return s;
}

void bfs()
{
	string s = " 123456";
	queue<string>q;
	q.push(s);
	map<string, int>m;
	m[s] = 1;
	while (!q.empty())
	{
		string str = q.front();
		q.pop();
		string s = f1(str);
		if (!m[s])m[s] = 1, q.push(s);
		s = f2(str);
		if (!m[s])m[s] = 1, q.push(s);
		s = f3(str);
		if (!m[s])m[s] = 1, q.push(s);
		s = f4(str);
		if (!m[s])m[s] = 1, q.push(s);
	}
	for (auto mi : m) {
		int x = 0;
		for (int i = 0; i < 7; i++)if (mi.first[i]==s[i])x++;
		if(x>=4)cout << mi.first << endl;
	}
}

输出：

123456
123564
123645
124536
124653
125346
125463
126354
126435
134256
135426
136452
142356
143526
143652
152436
153246
153462
162453
163254
163425
231456
243156
253416
263451
312456
324156
325416
326451
413256
421356
423516
423651
513426
521436
523146
523461
613452
621453
623154
623415

理论上任选一个都可以作为基础公式模式。

为了方便，我们选143526作为公式模式。

代码略改一下，求出123456到143526的变换路径：

void bfs()
{
	string s = " 123456";
	queue<string>q;
	q.push(s);
	map<string, int>m;
	map<string, string>p;
	map<string, int>p2;
	m[s] = 1;
	while (!q.empty())
	{
		string str = q.front();
		q.pop();
		string s = f1(str);
		if (!m[s])m[s] = 1, q.push(s), p[s] = str, p2[s] = 1;
		s = f2(str);
		if (!m[s])m[s] = 1, q.push(s), p[s] = str, p2[s] = 2;
		s = f3(str);
		if (!m[s])m[s] = 1, q.push(s), p[s] = str, p2[s] = 3;
		s = f4(str);
		if (!m[s])m[s] = 1, q.push(s), p[s] = str, p2[s] = 4;
	}
	s = " 143526";
	while (s != " 123456") {
		cout << s<<"  "<<p2[s] << "  ";
		s = p[s];
	}
	cout << s << endl;
}

输出：

143526 2 634215 1 415632 3 624351 1 451623 1 123456

也就是说，从123456，依次执行853、853、582、853 、674操作，共15次操作，即可变成143526，即245三个色块的轮换。

有此公式，即可完成所有中心块的归位。

亲测有效：