说明

【数据结构与算法之美】专栏学习笔记

如何分析一个排序算法？

1、排序算法的执行效率

• 最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度
• 时间复杂度的系数、常数 、低阶
• 比较次数和交换（或移动）次数

2、排序算法的内存消耗

3、排序算法的稳定性

原地排序（Sorted in place）：就是特指空间复杂度是 O(1) 的排序算法。

稳定性度量指标：如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变，这种排序算法叫作稳定的排序算法；如果前后顺序发生变化，那对应的排序算法就叫作不稳定的排序算法。

冒泡排序（Bubble Sort）

冒泡排序是一种简单的排序算法，它重复地走访过要排序的数列，每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。

// 冒泡排序，a表示数组，n表示数组大小
public void bubbleSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;
 
 for (int i = 0; i < n; ++i) {
    // 提前退出冒泡循环的标志位
    boolean flag = false;
    for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
      if (a[j] > a[j+1]) { // 交换
        int tmp = a[j];
        a[j] = a[j+1];
        a[j+1] = tmp;
        flag = true;  // 表示有数据交换      
      }
    }
    if (!flag) break;  // 没有数据交换，提前退出
  }
}

可以查看排序的可视化演示

有序度

有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数。

有序元素数学表达式表示如下：

有序元素对：a[i] <= a[j], 如果 i < j。

比如：2，4，3，1，5，6，这组数据

有序元素有：

(2, 4) (2, 3) (2, 5) (2, 6)
(4, 5) (4, 6)
(3, 5) (3, 6)
(1, 5) (1, 6)
(5, 6)

所以上面数据组的有序度就是11。

比如 6，5，4，3，2，1，有序度是 0；对于一个完全有序的数组，有序度就是 n(n-1)/2*。全有序的数组的有序度叫作满有序度。

逆序度

逆序元素对：a[i] > a[j], 如果i < j。

逆序度 = 满有序度 - 有序度。

下面用 4，5，6，3，2，1 这组数据来对比一下冒泡过程的有序度跟逆序度：

冒泡次数	冒泡后结果	有序度	逆序度
初始状态	4，5，6，3，2，1	3	12
第 1 次冒泡	4，5，3，2，1，6️⃣	6	9
第 2 次冒泡	4，3，2，1，5️⃣，6️⃣	9	6
第 3 次冒泡	3，2，1，4️⃣，5️⃣，6️⃣	12	3
第 4 次冒泡	2，1，3️⃣，4️⃣，5️⃣，6️⃣	14	1
第 5 次冒泡	1，2️⃣，3️⃣，4️⃣，5️⃣，6️⃣	15	0

冒泡排序包含两个操作原子，比较和交换。每交换一次，有序度就加 1。对于包含 n 个数据的数组进行冒泡排序，平均情况下，需要 n*(n-1)/4 次交换操作，平均情况下的时间复杂度就是 O($n^2$)。

插入排序（Insertion Sort）

插入排序是一种简单的排序算法，它的基本思想是：将一个记录插入到已排好序的有序表中，从而得到一个新的记录数增1的有序表。

插入算法的核心思想：将数组中的数据分为已排序区间和未排序区间两个区间，然后初始已排序区间只有一个元素，就是数组的第一个元素。再取未排序区间中的元素，在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入，并保证已排序区间数据一直有序。重复这个过程，直到未排序区间中元素为空，算法结束。

例子：4，5，6，1，3，2 数据进行插入排序，逆序数为10。

插入排序包含两种操作，一种是元素的比较，一种是元素的移动，移动操作的次数总是固定的，就等于逆序度。

// 插入排序，a表示数组，n表示数组大小
public void insertionSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;

  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    int value = a[i];
    int j = i - 1;
    // 查找插入的位置
    for (; j >= 0; --j) {
      if (a[j] > value) {
        a[j+1] = a[j];  // 数据移动
      } else {
        break;
      }
    }
    a[j+1] = value; // 插入数据
  }
}

有点晕的同学可以查看排序的可视化演示，选择插入排序，就能清晰的看到过程效果

现实生活里就有这样的例子，打扑克的时候，整理牌用到的思路其实就是插入排序，牌堆就是未排序区间，手中已摸的牌就是已排序区间。每一次抽牌，就根据摸到的牌的大小从左往右，或者从右往左对比，放到恰当的位置。

选择排序（Selection Sort）

选择排序算法的实现思路有点类似插入排序，但选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。

选择排序原理示意图：可以查看排序的可视化演示，选择选择排序，就能清晰的看到过程效果

总结

总的来说，冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂，相对于冒泡排序和插入排序，选择排序不稳定，就稍微逊色一点。

	空间复杂度	是否原地排序	是否稳定	最好时间复杂度	最坏时间复杂度	平均时间复杂度
冒泡排序	O(1)	✔️	✔️	O(n)	O($n^2$)	O($n^2$)
插入排序	O(1)	✔️	✔️	O(n)	O($n^2$)	O($n^2$)
选择排序	O(1)	✔️	❌	O($n^2$)	O($n^2$)	O($n^2$)