算法训练营 day48 动态规划 完全背包 零钱兑换 II 组合总和 Ⅳ

完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

在下面的讲解中，我依然举这个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

每件商品都有无限个！

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

dp状态图如下：

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！

因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

一维dp数组

//先遍历物品，再遍历背包
private static void testCompletePack(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
        for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
    }
}

//先遍历背包，再遍历物品
private static void testCompletePackAnotherWay(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量
        for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品
            if (i - weight[j] >= 0){
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
            }
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
    }
}

二维dp数组

 private static void testCompletePack(){
        int[] weight = {1, 3, 4};
        int[] value = {15, 20, 30};
        int bagWeight = 4;

        int[][] dp = new int[weight.length][bagWeight + 1];

        for (int j = weight[0]; j <=bagWeight ; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j-weight[0]]+value[0];
        }

        for (int i = 1; i <weight.length ; i++) {
            for (int j = 1; j <=bagWeight ; j++) {
                if (j<weight[i]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
                }
            }
        }

        for (int[] maxValue : dp){
            for (int a: maxValue) {
                System.out.print(a + "   ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

零钱兑换 II

518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！

组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2. 确定递推公式

   dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。

   所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

3. dp数组如何初始化

   dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。

4. 确定遍历顺序

   因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！

   而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。

   所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。

   本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。

   那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。

   我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。

   代码如下：

   for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
       for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
           dp[j] += dp[j - coins[i]];
       }
   }
   

   假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

   那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

   所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

   如果把两个for交换顺序，代码如下：

   for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
       for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
           if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
       }
   }
   

   背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

   此时dp[j]里算出来的就是排列数！

5. 举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount+1];
        dp[0]=1;
        for (int i = 0; i <coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <=amount ; j++) {
                dp[j] +=dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

组合总和 Ⅳ

377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（LeetCode）

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！

弄清什么是组合，什么是排列很重要。

组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。

排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

2. 确定递推公式

dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。

因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。

3. dp数组如何初始化

因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。

4. 确定遍历顺序

个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。

得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。

本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！

所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

5. 举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下：

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target+1];
        dp[0]=1;
        for (int j = 0; j <=target ;j++){
            for (int i = 0; i <nums.length; i++) {
                if(j>=nums[i]){
                    dp[j] += dp[j-nums[i]];
                }
            }
        }
        return dp[target]; 
    }
}