高斯消元总结

news2025/8/11 16:38:47

A-Matrix Equation_第 45 届国际大学生程序设计竞赛（ICPC）亚洲区域赛（济南）（重现赛）

         自己写一个2维矩阵或者3维矩阵就可以发现对于每一列来说都是独立的，每一列的n个Cij都是都关系的，这就构成了一个n元一次方程组，其实这就是解一下这个方程组，但是他是问的有多少个矩阵，对于这个方程组构造出的矩阵来说，有多少自由元就说明有多少个Cij是可以任意取值的，也就是有1，2两种选择，不是自由元的就只能有1种；自由元是指系数都是0的未知数，自由元的个数就是高斯消元后0行的个数，所以用高斯消元就可以求出来；

        又因为有运算是模2的，所以也就可以看成是异或型矩阵，那么运算方式就要稍微的发生以下变化，比如

上述图片来自2020icpc-济南站_琅歌的博客-CSDN博客 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
const int mod=998244353;
const int inf=1e18;
const int N = 2e5+100;
const double eps=1e-8;
int qpow(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int getinv(int a){return qpow(a,mod-2LL);}
int n;
int a[220][220],b[220][220],d[220][220],fac[N];
int gauss()
{
    int newline=1;
    for(int k=1;k<=n;k++)
    {
        int p=newline;
        for(int i=newline+1;i<=n;i++)
        if(d[i][k]>d[p][k]) p=i;
        if(d[p][k]==0) continue;
        swap(d[newline],d[p]);
        for(int i=newline+1;i<=n;i++)
        {
            if(d[i][k]==0) continue;
            for(int j=1;j<=n;j++)
            d[i][j]^=d[newline][j];
        }
        newline++;
    }
    newline--;
    return n-newline;
}
void print()
{
    cout<<"--------------------\n";
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int k=1;k<=n;k++)
            cout<<d[i][k]<<" ";
            cout<<endl;
        }
        cout<<"--------------------\n";
}
signed main()
{
    //ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=100000;i++) fac[i]=fac[i-1]*2LL%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++) cin>>a[i][j],d[i][j]=a[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++) cin>>b[i][j];
    int ans=1;
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) 
        for(int k=1;k<=n;k++) d[i][k]=a[i][k];
        for(int i=1;i<=n;i++)
        d[i][i]=a[i][i]^b[i][j];
        //print();
        int res=gauss();
        //print();
        //cout<<res<<endl;
        ans=ans*fac[res]%mod;
        //cout<<j<<" "<<res<<endl;
        //print();
    }
    cout<<ans<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

借助这个题又回顾了一下高斯消元的东西，高斯消元其实就是大一学的矩阵的行列变换使得矩阵变为行阶梯型，步骤为：

1.设一变量newline代表进行到了第几行，最外层枚举列号k，内层枚举行i，找到最大的a[i][k]让其作为主元，将第i行与第newline行交换，如果最大的a[i][k]==0说明该变量是自由元，跳过去操作下一列；

2.将主元下面的数都消掉，就是行变换

3.操作结束后常数项/主元系数就是该未知数的解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
const int mod=998244353;
const int inf=1e18;
const int N = 2e5+100;
const double eps=1e-8;
int qpow(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int sgn(double x)
{
    if(fabs(x)<eps) return 0;
    else if(x<0) return -1;
    else return 1;
}
int getinv(int a){return qpow(a,mod-2LL);}
int n;
double a[55][55];
void gauss()
{
    int nl=1;
    for(int k=1;k<=n;k++)
    {
        int p=nl;
        for(int i=nl+1;i<=n;i++)
        if(a[p][k]<a[i][k]) p=i;
        //找一列中最大的数作为主元
        if(sgn(a[p][k])==0) continue;
        //如果最大的数是0那这个变量是一个自由元，跳过
        swap(a[p],a[nl]);
        //将主元所在的行换到上面
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i==nl) continue;
            double tmp=a[i][k]/a[nl][k];
            for(int j=1;j<=n+1;j++)
            a[i][j]-=tmp*a[nl][j];
            //将该主元所在的列中的非零元素都消去，使得这一列中只有主元一个非零元素
        }
        nl++;
    }
    nl--;
    if(nl<n)
    {
        //如果行数不够n，说明含有自由元
        for(int i=nl+1;i<=n;i++)
        {
            //如果常数项不为0说明是无解的
            if(a[i][n+1]!=0){cout<<"-1\n";return;}
        }
        //如果常数项是0说明是无穷解
        cout<<"0\n";return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        //常数项/主元系数就是未知数的解
        cout<<"x"<<i<<"="<<fixed<<setprecision(2)<<a[i][n+1]/a[i][i]<<endl;
    }
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n+1;j++) cin>>a[i][j];
    gauss();
    system("pause");
    return 0;
}

P2962 [USACO09NOV]Lights G - dfs+高斯消元

这题也是异或方程组，可以发现假设每个灯按的次数是xi,那么对于每一个灯来说

xj1^xj2^xj3^...^xi^...^xjm=1,j[1...m]是与i相连的灯，n个灯就构成了n元异或方程组，高斯消元后，如果有自由元的存在就要枚举这个灯开着优还是关掉优，最后取一个最优值即可

题解 P2962 【[USACO09NOV]灯Lights】 - Youngsc_AFO 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
const int mod=998244353;
const int inf=1e18;
const int N = 4e5+100;
const double eps=1e-8;
int qpow(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int sgn(double x)
{
    if(fabs(x)<eps) return 0;
    else if(x<0) return -1;
    else return 1;
}
int getinv(int a){return qpow(a,mod-2LL);}
int a[55][55],n,m;
int vis[55],ans;
void gauss()
{
    int nl=1;
    for(int k=1;k<=n;k++)
    {
        int p=nl;
        for(int i=nl+1;i<=n;i++) if(a[p][k]<a[i][k]) p=i;
        if(a[p][k]==0) continue;
        swap(a[p],a[nl]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i==nl||a[i][k]==0) continue;
            for(int j=1;j<=n+1;j++)
            a[i][j]^=a[nl][j];
        }
        nl++;
    }
    nl--;
}
void dfs(int pos,int res)
{
    if(ans<=res) return;
    if(pos==0)
    {
        ans=res;return;
    }
    int ma=n+1;
    for(int i=pos;i<=n;i++)
    {
        if(a[pos][i]){ma=i;break;}
    }
    if(ma<=n)
    {
        int num=a[pos][n+1];
        for(int i=ma+1;i<=n;i++)
        {
            if(a[pos][i]) num^=vis[i];
        }
        dfs(pos-1,res+num);
    }
    else
    {
        vis[pos]=0;
        dfs(pos-1,res);
        vis[pos]=1;
        dfs(pos-1,res+1);
        vis[pos]=0;
    }
}
void print()
{
    cout<<"-----------------------------\n";
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        cout<<a[i][j];
        cout<<endl;
    }
    cout<<"------------------------------\n";
}
signed main()
{
    //ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    //freopen("in.txt","r",stdin);
        cin>>n>>m;
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=a[i][n+1]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int u,v;cin>>u>>v;
            a[u][v]=a[v][u]=1;
        }
        //print();
        gauss();
        ans=inf;
        //print();
        dfs(n,0);
        cout<<ans<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

P5027 Barracuda - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

根据题意列出方程然后枚举每一个方程是错误的，注意判断不合法的几个细节就可以，然后比较的时候一定要fabs，虽然都是正的，但是不加就是会wa,,,

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
const int mod=998244353;
const int inf=1e18;
const int N = 4e5+100;
const double eps=1e-10;
int qpow(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int sgn(double x)
{
    if(fabs(x)<eps) return 0;
    else if(x<0) return -1;
    else return 1;
}
bool integer(double s)
{
    if(abs(round(s)-s)<eps) return 1;
    return 0;
}
int getinv(int a){return qpow(a,mod-2LL);}
double a[105][105],b[105];
int n;
vector<int>v[105];
int gauss()
{
    int nl=1;
    for(int k=1;k<=n;k++)
    {
        int p=nl;
        for(int i=nl+1;i<=n;i++) if(fabs(a[p][k])<fabs(a[i][k])) p=i;
        //加上fabs才对，不知道为何，明明都是正的呀
        if(sgn(a[p][k])==0) continue;
        swap(a[p],a[nl]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i==nl) continue;
            double tmp=a[i][k]/a[nl][k];
            for(int j=1;j<=n+1;j++)
            a[i][j]-=tmp*a[nl][j];
        }
        nl++;
    }
    nl--;
    if(nl<n) return 0;
    double res=0;
    int ma=n+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        double tmp=a[i][n+1]/a[i][i];
        if(tmp<0||sgn(a[i][n+1])==0) return 0; 
        int ztmp=tmp;
        if(sgn(tmp-ztmp)!=0) return 0;
        if(res<tmp)
        {
            res=tmp;ma=i;
        }
    }
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        double tmp=a[i][n+1]/a[i][i];
        if(sgn(res-tmp)==0) cnt++;
    }
    if(cnt>1) return 0;
    return ma;
}
void print()
{
    cout<<"-----------------------------\n";
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        cout<<a[i][j];
        cout<<endl;
    }
    cout<<"------------------------------\n";
}
signed main()
{
    //ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
    {
        int m;cin>>m;
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int x;cin>>x;v[i].push_back(x);
        }
        cin>>b[i];
    }
    int ans=-1,mark=0;
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n+1;k++) a[j][k]=0;
        int cnt=0;
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        {
            if(i==j)continue;
            cnt++;
            for(int k=0;k<v[j].size();k++)
            {
                a[cnt][v[j][k]]=1;
                //cout<<v[j][k]<<" "<<v[j].size()<<" "<<j<<endl;
            }
            a[cnt][n+1]=b[j];
        }
        //print();
        int flag=gauss();
        //print();
        if(flag)
        {
            mark++;
            ans=flag;
            if(mark>1){ans=-1;break;}
        }
    }
    if(ans==-1) cout<<"illegal\n";
    else cout<<ans<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

P2447 [SDOI2010] 外星千足虫 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

一开始就构造成m行n+1列的方程组直接高斯消元，记录最大用到的行就是最小的K，N太大就用bitset优化，有一篇题解是不需要bitset的，但是我不知道他的做法为什么对就没采用，还是老老实实的用bitset吧

题解 P2447 【[SDOI2010]外星千足虫】 - YoungNeal 的博客 - 洛谷博客

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
const int mod=998244353;
const int inf=1e18;
const int N = 4e5+100;
const double eps=1e-10;
int qpow(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int sgn(double x)
{
    if(fabs(x)<eps) return 0;
    else if(x<0) return -1;
    else return 1;
}
bool integer(double s)
{
    if(abs(round(s)-s)<eps) return 1;
    return 0;
}
int getinv(int a){return qpow(a,mod-2LL);}
int n,m,b[2005],ans;
char s[2005][1005];
bitset<1005>a[2005];
bool gauss()
{
    ans=0;
    int nl=1;
    for(int k=1;k<=n;k++)
    {
        int p=nl;
        for(int i=nl;i<=m;i++) if(a[i][k]==1){p=i;break;}
        if(a[p][k]==0) return 0;
        ans=max(ans,p);
        swap(a[p],a[nl]);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {

            if(i==nl||a[i][k]==0) continue;
            // for(int j=k;j<=n+1;j++)
            // a[i][j]^=a[nl][j];
            a[i]^=a[nl];
        }
        nl++;
    }
    nl--;
    return nl>=n;
}
void print()
{
    cout<<"-----------------------------\n";
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        cout<<a[i][j];
        cout<<endl;
    }
    cout<<"------------------------------\n";
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>(s[i]+1);
        for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=(s[i][j]-'0');
        int x;cin>>x;
        a[i][n+1]=x;
    }
    if(gauss())
    {
        cout<<ans<<endl;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(a[i][n+1]^a[i][i]) cout<<"Earth\n";
            else cout<<"?y7M#\n";
        }
    }
    else cout<<"Cannot Determine\n";
    system("pause");
    return 0;
}

P2973 [USACO10HOL]Driving Out the Piggies G - 高斯消元解方程组，概率

假设期望是经过这个点几次才会爆炸，那么期望其实是和概率在数值上是一样的了，也就是把每走一步的代价看作1，也就相当于在求期望了，f[i]表示经过了多少次i点会爆炸，然后根据题意就可以列出

f[i]=1+sum(f[j]*(1-P)*(1/in[j])) (i==1)

f[i]=sum(f[j]*(1-P)*(1/in[j])) (i!=1)

P是爆炸的概率，in[j]是j的度数，j可以到达i，j一共可以到达in[j]个点，j到达i的概率就是1/in[j],f[i]就可以通过j来转移，当i==1时因为一开始的起点就是1，所以1这个点一开始就经过了一次，所以要加上1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
const int mod=998244353;
const int inf=1e18;
const int N = 4e5+100;
const double eps=1e-10;
int qpow(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int sgn(double x)
{
    if(fabs(x)<eps) return 0;
    else if(x<0) return -1;
    else return 1;
}
bool integer(double s)
{
    if(abs(round(s)-s)<eps) return 1;
    return 0;
}
int getinv(int a){return qpow(a,mod-2LL);}
int e[305][305],n,m,in[305];
double p,q,a[305][305],P;
void gauss()
{
    int nl=1;
    for(int k=1;k<=n;k++)
    {
        int p=nl;
        for(int i=nl+1;i<=n;i++) if(a[p][k]<a[i][k]) p=i;
        if(sgn(a[p][k])==0) continue;
        swap(a[p],a[nl]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i==nl) continue;
            double tmp=a[i][k]/a[nl][k];
            for(int j=1;j<=n+1;j++)
                a[i][j]-=tmp*a[nl][j];
        }
        nl++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        double tmp=a[i][n+1]/a[i][i]*P;
        cout<<tmp<<endl;
    }
}
signed main()
{
    //ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    cin>>n>>m>>p>>q;
    P=p/q;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        in[u]++;in[v]++;
        e[u][v]=e[v][u]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(e[i][j]) a[i][j]-=a[j][j]*(1.0-P)/in[j];
        }
    }
    a[1][n+1]=1;
    gauss();
    system("pause");
    return 0;
}

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