今天是动态规划第三天的题，动态规划这块儿题目比较多！

343. 整数拆分

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。

动规五部曲：

• 1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
  dp[i]的定义将贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！

• 2.确定递推公式
  可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
  其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
  一个是j * (i - j) 直接相乘。
  一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
  j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
  也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

• 3.dp的初始化
  严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
  这里只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！

• 4.确定遍历顺序
  确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
  dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
  其次优化：因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。
  例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。
  只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。
  那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。

• 5.举例推导dp数组

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n+1)
        dp[2] = 1

        for i in range(3 , n+1):
        # 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
        # 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
        # 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
            for j in range(1 , (i//2)+1):
                dp[i] = max(dp[i] , max((i-j)*j , dp[i-j]*j))

        return dp[n]

思路对了，其实代码写起来还是挺简单的！

96.不同的二叉搜索树

• 1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
  也可以理解是i的不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ，都是一样的。

• 2.确定递推公式
  在上面的分析中，其实已经看出其递推关系， dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
  j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。
  所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

• 3.dp数组如何初始化
  初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。
  从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。
  从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。
  所以初始化dp[0] = 1

• 4.确定遍历顺序
  首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
  那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

• 5.举例推导dp数组

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0], dp[1] = 1, 1
        for i in range(2, n + 1):
            for j in range(1, i + 1):
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]
        return dp[-1]

今天的两道题都是没有思路的，看了题解才懵懵懂的，需要二刷加深理解！