作者：~小明学编程

文章专栏：Java数据结构

格言：目之所及皆为回忆，心之所想皆为过往

树型结构

什么是树

树的相关概念

树的表现形式

树的引用

二叉树

概念

二叉树的种类

常规二叉树

满二叉树

完全二叉树

二叉树的性质

二叉树的存储

二叉树的基本操作

二叉树的遍历

二叉树的基本操作

二叉树的前中后序遍历

二叉树的基本操作

二叉树的层序遍历

树型结构

在我们了解二叉树之前我们首先得了解一下树的结构。

什么是树

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
1.有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点。
2.除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
3.树是递归定义的。

树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6。

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6。

叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点。

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点。

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点。

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A。

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4。

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点。

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点。

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点。

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先。

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。

树的表现形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
    int value; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

树的引用

我们常见的树的应用就是我们的文件管理系统。

比如我们文件管理系统，我们现在要查找一个文件就可以通过一层一层的查找来找到我们的文件，其中的思想就是利用我的树。

二叉树

接着就是我们今天的重点了——二叉树。

概念

什么是二叉树？

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。

2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

二叉树的种类

常规二叉树

满二叉树

满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。

完全二叉树

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1)上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储，我们先介绍二叉树的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}

我们常用的就是孩子表示法。

二叉树的基本操作

二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
1. NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
2. LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

例如上图：它的先序遍历：ABDCEF。中序遍历：DBAECF。后序遍历：DBEFCA。

同时我们也能根据中前遍历推出后序遍历，或者根据根据中后遍历推出前序遍历。

二叉树的基本操作

二叉树的前中后序遍历

    //先序遍历
    public void preOrder(BTNode root) {
        if (root==null) {
            return;
        } else {
            System.out.print(root.val+" ");
            preOrder(root.left);
            preOrder(root.right);
        }
    }
    //中序遍历
    public void minOrder(BTNode root) {
        if (root==null) {
            return;
        } else {
            minOrder(root.left);
            System.out.print(root.val+" ");
            minOrder(root.right);
        }
    }
    //后序遍历
    public void BehindOrder(BTNode root) {
        if (root==null) {
            return;
        } else {
            BehindOrder(root.left);
            BehindOrder(root.right);
            System.out.print(root.val+" ");
        }
    }

二叉树的基本操作

class BTNode {
    public char val;
    public BTNode left;
    public BTNode right;
    public BTNode(char val) {
        this.val = val;
    }
}
public class BinaryTree {
    private int size;//用于计算节点的数量
    private int leaSize;
    public BinaryTree() {
        this.size = 0;
    }
    private void order(BTNode root) {
        if (root==null) {
            return;
        } else {
            this.size++;
            order(root.left);
            order(root.right);
        }
    }
//    public boolean isPalindrome(int x) {
//        String str1 = String.valueOf(x);
//        StringBuilder str2 = new StringBuilder(str1);
//        return str1.equals(str2.reverse().toString());
//
//    }
    private void orderLea(BTNode root) {
        if (root==null) {
            return;
        } else {
            if (root.left==null&&root.right==null) {
                this.leaSize++;
            }
            orderLea(root.left);
            orderLea(root.right);
        }
    }
    //子问题法求叶子节点
    public int getLeaSize1(BTNode root) {
        if (root==null) {
            return 0;
        } else if (root.right==null&&root.left==null) {
            return 1;
        } else {
            return getLeaSize1(root.left)+getLeaSize1(root.right);
        }
    }
    //遍历法求叶子节点
    public int getLeaSize(BTNode btNode) {
        this.leaSize = 0;
        orderLea(btNode);
        return this.leaSize;
    }
    //方法一：求节点的个数(遍历法)
    public int getSize(BTNode root) {
        this.size=0;
        order(root);
        return this.size;
    }
    //方法二：求节点的个数(子问题法)
    public int getSize1(BTNode root) {
        if (root==null) {
            return 0;
        }
        return getSize1(root.left)+getSize1(root.right)+1;
    }
    //求第n层的节点个数
    public int getKLevelNodeCount(BTNode root,int k) {
        if (root==null||k<=0) {
            return 0;
        } else if (k==1) {
            return 1;
        } else {
            return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
        }
    }
    //求二叉树的深度
    public int getHeight(BTNode root) {
        if (root==null) {
            return 0;
        } else {
            int left = getHeight(root.left)+1;
            int right = getHeight(root.right)+1;
            return Math.max(left, right);
        }

    }
    //查找val所在的节点
    public BTNode find(BTNode root, int val) {
         if (root==null)  return null;
         if (root.val==val) return root;
         BTNode btLeft = find(root.left, val);
         if (btLeft!=null) {
             return btLeft;
         }
         BTNode btRight = find(root.right, val);
         if (btRight!=null) {
             return btRight;
         }
         return null;

    }
    public BTNode createTree() {
        BTNode A = new BTNode('A');
        BTNode B = new BTNode('B');
        BTNode C = new BTNode('C');
        BTNode D = new BTNode('D');
        BTNode E = new BTNode('E');
        BTNode F = new BTNode('F');

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        C.left = E;
        C.right = F;
        return A;
    }
    //先序遍历
    public void preOrder(BTNode root) {
        if (root==null) {
            return;
        } else {
            System.out.print(root.val+" ");
            preOrder(root.left);
            preOrder(root.right);
        }
    }
    //中序遍历
    public void minOrder(BTNode root) {
        if (root==null) {
            return;
        } else {
            minOrder(root.left);
            System.out.print(root.val+" ");
            minOrder(root.right);
        }
    }
    //后序遍历
    public void BehindOrder(BTNode root) {
        if (root==null) {
            return;
        } else {
            BehindOrder(root.left);
            BehindOrder(root.right);
            System.out.print(root.val+" ");
        }
    }
}

二叉树的层序遍历

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

设计思想：层序遍历的解决方式最好的就是队列了，我们先将二叉树的根节点放入队列中，然后进入一个循环，根据需求打印或者将节点存起来，然后接着放队列头部位置的左右节点(节点不为空)，接着就是将头节点给poll()掉，直到我们的队列为空，结束循环。

// 层序遍历
    public void levelOrderTraversal (TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while(!queue.isEmpty()) {
            System.out.print(queue.peek().val+" ");
            if (queue.peek().left != null) {
                queue.offer(queue.peek().left);
            }
            if (queue.peek().right != null) {
                queue.offer(queue.peek().right);
            }
            queue.poll();
        }
    }