0、数学--它的内容、方法和意义。Mathematics--Its Content, Methods, and Meaning.----俄文原版于1956年。英文翻译版于1963年。中文翻译版于1950年代。----在国内的《数学大辞典》中特别指出这本书《数学-它的内容方法和意义》是当时的数学辞书之一。而另一本则是那本《PCM-The-Princeton-Companion-To-Mathematics》。这大概代表了苏美中的三部数学全景书(Whole Picture, Big Picture)。1、俄文原版前言----The authors have kept in mind the goal of acquainting a sufficiently wide circle of the Soviet intelligentsia with the various mathematical disciplines, their content and methods, the foundations on which they are based, and the paths along which they have deployed. ////作者牢记这样一个目标即让足够广泛的苏联知识界了解各种数学学科、它们的内容和方法、它们所基于的基础以及它们所部署的道路。----Naturally it has not been possible, within the limits of one book, to exhaust all the riches of even the most fundamental results of mathematical research. But along general lines, the present book will give an idea of the present state of mathematics, its origins, and its probable future development. For this reason, the book is also intend to some extent for persons already acquainted with most of the factual meterial in it. //在一本书里穷尽列举数学的丰富内容是不可能的甚至只列出基本的内容都是不可能的。但本书还完整地介绍了数学的现状、起源以及可能的未来。2、英文翻译版前言----Although they are admirable in many other ways, they have not yet undertaken the ultimate task of mathematical exposition, namely the large-scale organization of modern mathematics in such a way that the reader is constantly delighted by the obvious economizing of his own time and effort. Anyone who reads through some of the chapters in the present book will realize how well this task has been carried out by the Soviet authors, in the systematic collaboration they have described in their preface. ////尽管它们在许多其他方面都令人钦佩但它们尚未承担数学阐述的最终任务即大规模组织现代数学使读者不断为自己的时间和精力的明显节省而高兴。读过本书的人会意识到苏联作家在序言中描述的系统合作中完成了这项任务。3、Volume1-Part1数学概览和数学分析学。----数学分析包括函数、极限(运算)、连续函数这些微积分的前置基础概念。也包括导数(Derivative)微分(Differentiation)积分(Integral)无穷积分多变量函数(偏导数和偏微分)。级数(Series)。4、Volume1-Part2解析几何代数方程常微分方程ODE。----解析几何一阶和二阶方程(First- and Second-Degree Equations)描述直线和圆锥曲线。----三阶和四阶方程。圆锥曲线(椭圆、抛物线和双曲线)。----用来描述力、速度和加速度的数学工具----向量。----空间解析几何投影几何。----代数方程复平面上多项式的根求解。近似方法计算根。----常微分方程通解和近似求解。5、Volume2-Part3----偏微分方程PDE初值问题、边界问题。----曲线和曲面用微积分描述曲线和曲面。----变分法(The Calculus of Variations)。----复变函数(Functions of a Complex Variable)。6、Volume2-Part4数论概率计算机。----在俄文版写作成书的1956年在数学著作里讲计算机。好奇一下TBD在文末摘录一些看看。7、Volume3-Part5实变函数线性代数非欧几何。----实变函数论(Theory of Functions of Real Variables)在本书里并没有可以归类到诸如分析学中而是单起一章来说从集合(Sets)、到点集(Point Sets)、再到实数。可以结合数学史常识复述这个内容就是在一个连续的数轴上有些点是有理数这些有理数所构成的集合尽管数量上是无穷的但却是点状/不连续的大约是点集Point Sets的概念。而两个点之间哪怕距离再小也不是0因此这部分就是无理数了。有理数无理数就构成了实数。这就把实数和集合、点集、连续、无穷这些概念都联系起来了。这就是所谓第一次数学危机(毕达哥拉斯时代)的解决(18-19世纪)。8、Volume3-Part6----最后的部分大概代表了写作时的最新数学分支----拓扑学函数分析(分析学的前沿部分)群论(抽象代数)。----拓扑学表面(Surface)、流形(Manifolds)、向量场(Vector Field)、测度和拓扑空间(Metric and Topological Spaces)。----函数分析N维空间(n-Dimentional space)、希尔伯特空间(Hilbert Space)、积分方程(Integral Equations)、线性运算和函数分析的进一步发展。这些名词似乎和所谓【泛函分析】的基本名词比较接近了也许原来Function Analysis翻译就是泛函分析----群论(Groups)就是抽象代数/近世代数。见识一下各种各样的群Fedorov GroupsGalois Groups(伽罗瓦群)Continuous Groups(连续群)Fundamental Groups(基础群)。还有环(Rings)。还有格(Lattice)。哦超复数(Hypercomplex Number)也在这里。超复数/四元数也具有加减乘除不具有乘法的交换律是一个什么“无交换(律)环”的类别这就是抽象代数的分类法。----总结来看通过这一部1950年代的数学大书(Big Picture)可以看出数学的全景地图。和此前的梳理基本一致可简单描述为分析学(从微积分、到泛函分析)代数学(从多项式方程、到抽象代数/群论)、拓扑学(从几何流形、到代数拓扑和抽象代数群论结合)。这样的一个分类也大致把初等数学(多项式方程)到高等数学(微积分)到专业数学(泛函分析、抽象代数、拓扑学)都包括了。完