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前向传播、反向传播和计算图

教材

我们已经学习了如何用小批量随机梯度下降训练模型。 然而当实现该算法时，我们只考虑了通过前向传播（forward propagation）所涉及的计算。 在计算梯度时，我们只调用了深度学习框架提供的反向传播函数，而不知其所以然。

梯度的自动计算（自动微分）大大简化了深度学习算法的实现。 在自动微分之前，即使是对复杂模型的微小调整也需要手工重新计算复杂的导数， 学术论文也不得不分配大量页面来推导更新规则。 在本节中，我们将通过一些基本的数学和计算图， 深入探讨反向传播的细节。 首先，我们将重点放在带权重衰减（$L_2$正则化）的单隐藏层多层感知机上。

前向传播

前向传播（forward propagation或forward pass） 指的是：按顺序（从输入层到输出层）计算和存储神经网络中每层的结果。

我们将一步步研究单隐藏层神经网络的机制， 为了简单起见，我们假设输入样本是 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d$， 并且我们的隐藏层不包括偏置项。 这里的中间变量是：$$\mathbf{z}={\mathbf{W}}^{(1)}\mathbf{x},$$
其中${\mathbf{W}}^{(1)}\in {\mathbb{R}}^{h\times d}$是隐藏层的权重参数。 将中间变量通过激活函数后， 我们得到长度为的隐藏激活向量：$\mathbf{h}=\varphi (\mathbf{z}).$

隐藏变量$\mathbf{h}$也是一个中间变量。 假设输出层的参数只有权重${\mathbf{W}}^{(2)}\in {\mathbb{R}}^{q\times h}$， 我们可以得到输出层变量，它是一个长度为的向量：
$$\mathbf{o}={\mathbf{W}}^{(2)}\mathbf{h}.$$
假设损失函数为$l$，样本标签为$y$，我们可以计算单个数据样本的损失项，
$$L=l(\mathbf{o},y).$$
根据$L_2$正则化的定义，给定超参数$\lambda$，正则化项为$$s=\frac{\lambda }{2}\left(\Vert {\mathbf{W}}^{(1)}{\Vert }_F^2+\Vert {\mathbf{W}}^{(2)}{\Vert }_F^2\right),$$
其中矩阵的Frobenius范数是将矩阵展平为向量后应用的$L_2$范数。 最后，模型在给定数据样本上的正则化损失为：
$$J=L+s$$
我们将$J$称为有关给定数据样本的目标函数（objective function），并在以下的讨论中简称目标函数。

前向传播计算图

绘制计算图有助于我们可视化计算中操作符和变量的依赖关系。 下图是与上述简单网络相对应的计算图， 其中正方形表示变量，圆圈表示操作符。 左下角表示输入，右上角表示输出。 注意显示数据流的箭头方向主要是向右和向上的。

反向传播

反向传播（backward propagation或backpropagation）指的是计算神经网络参数梯度的方法。 简言之，该方法根据微积分中的链式规则，按相反的顺序从输出层到输入层遍历网络。 该算法存储了计算某些参数梯度时所需的任何中间变量（偏导数）。 假设我们有函数$\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})$和$\mathsf{Z}=g(\mathsf{Y})$， 其中输入和输出$\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z}$是任意形状的张量。 利用链式法则，我们可以计算关于的导数:
$$\frac{\partial \mathsf{Z}}{\partial \mathsf{X}}=\text{prod}\left(\frac{\partial \mathsf{Z}}{\partial \mathsf{Y}},\frac{\partial \mathsf{Y}}{\partial \mathsf{X}}\right).$$
在这里，我们使用$\text{prod}$运算符在执行必要的操作（如换位和交换输入位置）后将其参数相乘。 对于向量，这很简单，它只是矩阵-矩阵乘法。 对于高维张量，我们使用适当的对应项。 运算符$\text{prod}$指代了所有的这些符号。
其中prod运算符将根据两个输入的形状，在必要的操作（如转置和互换输入位置）后对两个输入做乘法

回想一下，在计算图中的单隐藏层简单网络的参数是${\mathbf{W}}^{(1)}$和${\mathbf{W}}^{(2)}$。 反向传播的目的是计算梯度$\partial J/\partial {\mathbf{W}}^{(1)}$和$\partial J/\partial {\mathbf{W}}^{(2)}$ 。 为此，我们应用链式法则，依次计算每个中间变量和参数的梯度。 计算的顺序与前向传播中执行的顺序相反，因为我们需要从计算图的结果开始，并朝着参数的方向努力。第一步是计算目标函数$J=L+s$相对于损失项$L$和正则项$s$的梯度。
$$\frac{\partial J}{\partial L}=1\text{and}\frac{\partial J}{\partial s}=1.$$
接下来，我们根据链式法则计算目标函数关于输出层变量$\mathbf{o}$的梯度：
$$\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}=\text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial L},\frac{\partial L}{\partial \mathbf{o}}\right)=\frac{\partial L}{\partial \mathbf{o}}\in {\mathbb{R}}^q.$$
接下来，我们计算正则化项相对于两个参数的梯度：
$$\frac{\partial s}{\partial {\mathbf{W}}^{(1)}}=\lambda {\mathbf{W}}^{(1)}\text{and}\frac{\partial s}{\partial {\mathbf{W}}^{(2)}}=\lambda {\mathbf{W}}^{(2)}.$$
现在我们可以计算最接近输出层的模型参数的梯度$\partial J/\partial {\mathbf{W}}^{(2)}\in {\mathbb{R}}^{q\times h}$ 。 使用链式法则得出：
$$\frac{\partial J}{\partial {\mathbf{W}}^{(2)}}=\text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}},\frac{\partial \mathbf{o}}{\partial {\mathbf{W}}^{(2)}}\right)+\text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial s},\frac{\partial s}{\partial {\mathbf{W}}^{(2)}}\right)=\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}{\mathbf{h}}^{\top }+\lambda {\mathbf{W}}^{(2)}.$$
为了获得关于${\mathbf{W}}^{(1)}$的梯度，我们需要继续沿着输出层到隐藏层反向传播。 关于隐藏层输出的梯度由下式给出：
$$\frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}}=\text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}},\frac{\partial \mathbf{o}}{\partial \mathbf{h}}\right)={{\mathbf{W}}^{(2)}}^{\top }\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}.$$
由于激活函数$\varphi$是按元素计算的， 计算中间变量$\mathbf{z}$的梯度$\partial J/\partial \mathbf{z}\in {\mathbb{R}}^h$ 需要使用按元素乘法运算符$\odot$，我们用表示：
$$\frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}}=\text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}},\frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{z}}\right)=\frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}}\odot {\varphi }^{\prime }\left(\mathbf{z}\right).$$
最后，我们可以得到最接近输入层的模型参数的梯度$\partial J/\partial {\mathbf{W}}^{(1)}\in {\mathbb{R}}^{h\times d}$。 根据链式法则，我们得到：
$$\frac{\partial J}{\partial {\mathbf{W}}^{(1)}}=\text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}},\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial {\mathbf{W}}^{(1)}}\right)+\text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial s},\frac{\partial s}{\partial {\mathbf{W}}^{(1)}}\right)=\frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}}{\mathbf{x}}^{\top }+\lambda {\mathbf{W}}^{(1)}.$$

训练神经网络

在训练神经网络时，前向传播和反向传播相互依赖。 对于前向传播，我们沿着依赖的方向遍历计算图并计算其路径上的所有变量。 然后将这些用于反向传播，其中计算顺序与计算图的相反。

以上述简单网络为例：一方面，在前向传播期间计算正则项取决于模型参数${\mathbf{W}}^{(1)}$和${\mathbf{W}}^{(2)}$的当前值。 它们是由优化算法根据最近迭代的反向传播给出的。 另一方面，反向传播期间参数的梯度计算， 取决于由前向传播给出的隐藏变量的$\mathbf{h}$当前值。

因此，在训练神经网络时，在初始化模型参数后， 我们交替使用前向传播和反向传播，利用反向传播给出的梯度来更新模型参数。 注意，反向传播重复利用前向传播中存储的中间值，以避免重复计算。 带来的影响之一是我们需要保留中间值，直到反向传播完成。 这也是训练比单纯的预测需要更多的内存（显存）的原因之一。 此外，这些中间值的大小与网络层的数量和批量的大小大致成正比。 因此，使用更大的批量来训练更深层次的网络更容易导致内存不足（out of memory）错误。

小结

• 前向传播在神经网络定义的计算图中按顺序计算和存储中间变量，它的顺序是从输入层到输出层。
• 反向传播按相反的顺序（从输出层到输入层）计算和存储神经网络的中间变量和参数的梯度。
• 在训练深度学习模型时，前向传播和反向传播是相互依赖的。
• 训练比预测需要更多的内存