✅作者简介热爱科研的Matlab仿真开发者擅长毕业设计辅导、数学建模、数据处理、程序设计科研仿真。完整代码获取 定制创新 论文复现点击Matlab科研工作室 关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料个人信条做科研博学之、审问之、慎思之、明辨之、笃行之是为博学慎思明辨笃行。 内容介绍一、引言基于 Koopman 算子的模型预测控制是一种针对动力学未知的非线性系统的数据驱动控制方法。然而在运用 Koopman 算子时建模误差几乎难以避免。为解决这一问题本文提出一种通过 Koopman 算子在非线性系统识别中处理建模误差的方法。该方法将非线性系统表示为具有多面体不确定性的线性参数变化LPV系统多面体的顶点通过数据驱动方式获取。基于所识别的 Koopman 算子 - 多面体 LPV 系统在最坏情况下为原始非线性系统设计了一种鲁棒模型预测控制器。控制设计被表述为一个受特定线性矩阵不等式LMI约束的优化问题以确保递归可行性和闭环稳定性。数值模拟验证了所提建模与控制方法的有效性。二、基于 Koopman 算子的非线性系统建模挑战一Koopman 算子概述Koopman 算子是一种将非线性系统提升到高维线性空间的数学工具它能够对非线性动力学进行线性表示为非线性系统的分析和控制提供了新的视角。通过对系统状态进行适当的函数变换Koopman 算子可以将非线性系统转化为线性系统使得传统的线性控制理论有可能应用于非线性系统。二建模误差问题尽管 Koopman 算子为非线性系统建模带来了便利但由于实际系统的复杂性和数据的有限性建模误差几乎不可避免。这些误差可能源于系统中未建模的动态、噪声干扰以及数据采集的不完整性等因素。建模误差会导致基于 Koopman 算子的模型不能准确反映实际非线性系统的行为从而影响控制性能甚至可能导致系统不稳定。三、基于多面体不确定性 LPV 系统的非线性系统表示一LPV 系统基本概念线性参数变化LPV系统是一种系统参数随时间或其他参数变化的线性系统。这种系统结构能够捕捉系统在不同工作条件下的动态变化为处理具有参数不确定性的系统提供了有效的框架。二多面体不确定性的引入为了处理 Koopman 算子建模误差本文将非线性系统表示为具有多面体不确定性的 LPV 系统。多面体不确定性是指系统参数在一个多面体区域内变化。通过数据驱动的方法确定多面体的顶点。具体而言利用系统的输入 - 输出数据通过特定的算法如系统辨识技术找到一组能够描述系统在不同可能情况下的参数组合这些参数组合构成了多面体的顶点。这样将非线性系统的不确定性通过多面体的形式进行量化使得可以在一个相对确定的框架内分析和设计控制器。四、基于 Koopman 算子 - 多面体 LPV 系统的鲁棒模型预测控制器设计一最坏情况场景考虑在设计控制器时考虑最坏情况场景即假设系统参数在多面体不确定性范围内取最不利于控制性能的组合。这种保守的设计方法能够保证在各种可能的系统参数变化下控制器都能保持一定的性能和稳定性。二基于 LMI 的优化问题控制设计被表述为一个受特定线性矩阵不等式LMI约束的优化问题。LMI 是一种在控制理论中广泛应用的数学工具它能够简洁地描述系统的稳定性和性能条件。通过求解这个优化问题可以得到使系统满足递归可行性和闭环稳定性的控制器参数。递归可行性确保在每个采样时刻优化问题都有可行解从而保证控制器能够持续运行。闭环稳定性则保证了在控制器作用下系统能够稳定运行即系统状态能够收敛到期望的平衡点。五、数值模拟一模拟系统选择选择具有代表性的非线性系统进行数值模拟例如具有复杂动力学行为的化学反应过程模型或机械振动系统模型。这些系统具有典型的非线性特性能够很好地验证所提方法在实际非线性系统中的有效性。二模拟结果分析通过数值模拟对比基于传统 Koopman 算子模型预测控制和基于所提方法考虑多面体不确定性 LPV 系统的鲁棒模型预测控制的控制性能。结果表明所提方法在存在建模误差的情况下能够更有效地跟踪期望的系统输出并且在面对系统参数的不确定性时具有更好的稳定性和鲁棒性。具体表现为系统的输出响应更加平滑超调量更小并且在参数变化时能够更快地恢复到稳定状态。六、总结本文提出的基于使用 Koopman 算子识别的多面体不确定性 LPV 系统的鲁棒非线性模型预测控制方法为处理 Koopman 算子建模误差提供了一种有效的途径。通过将非线性系统表示为具有多面体不确定性的 LPV 系统并在最坏情况下设计鲁棒模型预测控制器成功地提高了系统在面对建模误差和参数不确定性时的控制性能。数值模拟结果验证了该方法的有效性。未来的研究可以进一步探索如何更精确地确定多面体的顶点以减少保守性提高控制器的性能。同时可以考虑将该方法应用于更复杂的实际系统如航空航天系统、电力系统等以推动其在实际工程中的应用。⛳️ 运行结果 部分代码clcclearclose allr randi(5000);rng(3506)f_u (t,x,u)(-[ -2*x(2,:) ; 1*x(1,:) 3*x(1,:).^2.*x(2,:) - 0.8*x(2,:) - u]);n 2;m 1; % number of control inputsA {};B {};C {};Ylift {};Xlift {};U_sub {};X_sub {};W {};V {};VVt {};WVt {};M {};%% ************************** Discretization ******************************deltaT 0.05;%Runge-Kutta 4k1 (t,x,u) ( f_u(t,x,u) );k2 (t,x,u) ( f_u(t,x k1(t,x,u)*deltaT/2,u) );k3 (t,x,u) ( f_u(t,x k2(t,x,u)*deltaT/2,u) );k4 (t,x,u) ( f_u(t,x k1(t,x,u)*deltaT,u) );f_ud (t,x,u) ( x (deltaT/6) * ( k1(t,x,u) 2*k2(t,x,u) 2*k3(t,x,u) k4(t,x,u) ) );%% ************************** Basis functions *****************************basisFunction rbf;Nrbf 2;cent rand(2,Nrbf)*4 - 2;% cent [[0.7423; 0.9025] [-0.8372; .2427]]rbf_type gauss;% Lifting mapping - RBFs the state itself% liftFun (xx)( [xx;rbf(xx,cent,rbf_type)] - [zeros(2, 1);rbf(zeros(2, 1),cent,rbf_type)]);liftFun (xx)( [xx]);Nsim 100;Ntraj 100;Nd 2;Nlift size( liftFun(zeros(2, 1)), 1);Ubig 2*rand([Nsim Ntraj]) - 1;Xcurrent (rand(n,Ntraj)*4 - 2);N Nsim * Ntraj / Nd;[AA, BB, CC, YYlift, XXlift, XX, UU] VDP_System_Generate(liftFun, Ubig, Xcurrent, Nsim, Ntraj);for i 1 : NdYlift{i} YYlift(:, N * (i - 1) (1 : N));Xlift{i} XXlift(:, N * (i - 1) (1 : N));X_sub{i} XX(:, N * (i - 1) (1 : N));U_sub{i} UU(:, N * (i - 1) (1 : N));W{i} [Ylift{i} ; X_sub{i}];V{i} [Xlift{i} ; U_sub{i}];VVt{i} V{i}*V{i};WVt{i} W{i}*V{i};M{i} WVt{i} * pinv(VVt{i});A{i} M{i}(1:Nlift,1:Nlift);B{i} M{i}(1:Nlift,Nlift1:end);C{i} M{i}(Nlift1:end,1:Nlift);endNd_temp 2 * Nd;for i Nd 1 : Nd_tempA{i} -A{i - Nd};B{i} -B{i - Nd};C{i} C{i - Nd};endA{Nd_temp 1} diag(0.001 * ones(Nlift, 1));B{Nd_temp 1} 0.001 * ones(Nlift, m);C{Nd_temp 1} C{Nd_temp};Nd Nd_temp 1;%% Not polytopic, just one modelnotpolytopic 0;if notpolytopic 1for i 1 : NdA{i} AA;B{i} BB;endepsilon [0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; zeros(Nd - 5, 1)];end%% LQRQ1 diag([10 * ones(n, 1); 0.1 * ones(Nlift - n, 1)]);% Q1 100 * eye(Nlift);R 0.001;F_Receding -dlqr(AA, BB, Q1, R);%% VerificationN 1200;% x0_init [-0.06; 0.83];% x0_init [-1.3; 1.8];% x0_init [0.3; 0.83];% epsilon [0.00; 0.0; zeros(Nd - 2, 1)];if notpolytopic 0epsilon [0.1 ; 0.0; 0.1; 0.0; 0.0; 0.0 * ones(Nd - 5, 1)];% epsilon [0.0 ; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0 * ones(Nd - 5, 1)];endflag 1;if flag 1for j 1 : NdA{j} (1 epsilon(j)) * A{j};B{j} (1 epsilon(j)) * B{j};endendu 2 * rand(1, N) - 1;for k 1 : 1% x0_init 2 * rand(2, 1) - 1;x0_init [-1.3; 1.8];% epsilon [0.01; 0.0; 0.01; -1.01; -1.02; -1.02; 0.02; -1.02; 0.01; 0.01; 0.02; -1.02; 0.02; -1.02; 0.02; 0.02];% epsilon 0.5 * epsilon;Cy [1 0];NSpan 1 : N;x0 x0_init;% u 2 * rand(1, N) - 1;% u prbs(15, N);X {};x {};x_temp {};for i 1 : NdX{i} [];x{i} liftFun(x0);endx_rec liftFun(x0);Coefficient_Set [];X_Real [x0];X_Recon [x_rec];P_i [];for i 1 : Nfor j 1 : Ndx_candidate{j} C{j} * ( A{j} * x_rec B{j} * u(i) );endM cell2mat(x_candidate);x0 f_ud(0, x0, u(i));p_i lsqlin(M, x0,[ [-eye(Nd, Nd) ; ];], [zeros(Nd, 1);], ones(1, Nd), 1)% p_i lsqlin(M, x0, [-eye(Nd, Nd) ; ones(1, Nd)], [zeros(Nd, 1); 1]);Coefficient_Set [Coefficient_Set p_i];A_Nd cell2mat(A);B_Nd cell2mat(B);A_Rec A_Nd * kron(p_i, eye(Nlift));B_Rec B_Nd * p_i;x_rec A_Rec * x_rec B_Rec * u(i);X_Real [X_Real x0];X_Recon [X_Recon x_rec];endfigureplot(X_Real(1, :), LineWidth, 3, LineStyle, --,Color,r)hold onplot(X_Recon(1, :), LineWidth, 2, LineStyle, -,Color,b)legend(Original, LPV)figureplot(X_Real(2, :), LineWidth, 3, LineStyle, --,Color,r)hold onplot(X_Recon(2, :), LineWidth, 2, LineStyle, -,Color,b)legend(Original, LPV)pause(0.1)end%% Plot polytopic coefficientfigurefor i 1 : Ndplot(Coefficient_Set(i, :), LineStyle,--)hold onend%%Control_Bound 4;Loops 1;X_Loop [];U_Loop [];for L 1 : Loops% A1 A(0.1);% A2 A(10);nx size(A{1}, 1);nu size(B{1}, 2);init [1 ; -0.5];x0 liftFun(init);% Q1 1 * C1*C1;%% F_Receding F_Receding_Static;X_Receding [init];F_Set [];x_next init;U_Receding [];time 200;J_Set [0];J 0;for i 1 : timegamma sdpvar(1, 1);X sdpvar(nu, nu);Q sdpvar(nx, nx);Y sdpvar(nu, nx);LMI1 [1 liftFun(x_next);liftFun(x_next) Q];for j 1 : NdLMI2{j} [Q (A{j} * Q B{j} * Y) (sqrt(Q1)*Q) (sqrt(R)*Y)A{j} * Q B{j} * Y Q zeros(nx, nx) zeros(nx, nu);sqrt(Q1)*Q zeros(nx, nx) (gamma) * eye(nx, nx) zeros(nx, nu);sqrt(R)*Y zeros(nu, nx) zeros(nu, nx) (gamma) * eye(nu, nu)];endLMI0 [X Y;Y Q];ZEROS 0;Constraints [LMI0 0, LMI1 ZEROS, Q ZEROS];for j 1 : NdConstraints [Constraints LMI2{j} ZEROS];end% Input constraints |uk| 2for j 1 : nuConstraints [Constraints X(j, j) Control_Bound^2 ] ;endObjective gamma;sol solvesdp(Constraints, Objective)if sol.problem ~ 0error(Infeasible!)endY double(Y)Q double(Q)F_Receding Y / QJ J x_next * x_next [F_Receding * liftFun(x_next)]*[F_Receding * liftFun(x_next)]J_Set [J_Set J];x_next f_ud(0,x_next,F_Receding * liftFun(x_next))% x_next f_ud(0,x_next,0)X_Receding [X_Receding x_next];U_Receding [U_Receding F_Receding * liftFun(x_next)];F_Set [F_Set; F_Receding];endU_Loop [U_Loop U_Receding];X_Loop [X_Loop X_Receding];endTspan 0:0.05: time * 0.05;NTime size(Tspan, 2);figuresubplot 211for L 0 : Loops - 1plot(Tspan,X_Loop(1, L * (time 1) 1 : (L 1)* (time 1)), LineWidth, 3, Color, b)hold onplot(Tspan,X_Loop(2, L * (time 1) 1 : (L 1)* (time 1)), LineWidth, 3, Color, r)end% axis([0 10,-0.2 1]);xlabel($Time(sec)$,interpreter,latex);ylabel($State$,interpreter,latex);title($State\,\,trajectory$,interpreter,latex);legend($x_1$, $x_2$, Interpreter, latex)subplot 212for L 0 : Loops - 1plot(Tspan(1: end - 1),U_Loop(1, L * (time 1) 1 : (L 1)* (time)), LineWidth, 3)hold onend% plot(Tspan,Control_Bound * ones(1, NTime),LineWidth, 3, LineStyle,--);% plot(Tspan,-Control_Bound* ones(1, NTime),LineWidth, 3, LineStyle,--);% axis([0 10,-2 0.5]);xlabel(time(sec));ylabel($u$ ,interpreter,latex);title(Control signal $u$,interpreter,latex);figureplot(Tspan(1 : end), J_Set,LineWidth, 3, LineStyle,-)xlabel(time(sec));ylabel($J$ ,interpreter,latex); 参考文献Robust Nonlinear Model Predictive Control Based on the LPV System with Polytopic Uncertainty Identified Using Koopman Operator (CDC 2024)更多免费数学建模和仿真教程关注领取