数据结构-------二叉树1.树的概念树是一种非线性的数据结构它是由n(n0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。我们把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树也就是根朝上叶在下。特点:1.有一个特殊的结点称为根结点根结点没有前驱节点。2.除根结点外其余结点被分成M(M0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm,其中每一个集合Ti(1im)又是一棵与数类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱可以有0个或多个后继。因此数是递归定义的。注:在树形结构中子树之间不能有交集否则就不是树形结构。那么我们如何判断什么样的结构不是树形结构呢子树是不相交的(如果存在相交就是图了)除了根节点外每个结点有且只有一个父结点一棵N结点的数有N-1条边如图所示:以上为非树形结构接下来我们来了解一下数的相关术语**父结点/双亲结点**若一个结点含有子结点则这个结点称为其子结点的父结点如上图A是B的父结点**子结点/孩子结点**一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点如上图B是A的孩子结点结点的度一个结点有几个孩子他的度就是多少比如A的度为6F的度为2K的度为0树的度一棵树中最大的结点的度称为树的度如上图树的度为6叶子结点/终端结点度为0的结点称为叶结点如上图B、C、H、I…等结点为叶结点分支结点/非终端结点:度不为0的结点如上图D、E、F、G…等结点为分支结点兄弟结点具有相同父结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)如上图B、C是兄弟结点结点的层次从根开始定义起根为第1层根的子结点为第2层以此类推树的高度或深度树中结点的最大层次如上图树的高度为4结点的祖先从根到该结点所经分支上的所有结点如上图A是所有结点的祖先路径一条从树中任意节点出发沿父节点-子节点连接达到任意节点的序列比如A到Q的路径为A-E-J-QH到Q的路径H-D-A-E-J-Q子孙以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图所有结点都是A的子孙森林由mm0棵互不相交的树的集合称为森林1.2树的表示树结构相对线性表来说比较复杂要存储表示起来就比较麻烦既要保持值域也要保存结点和结点之间的关系实际中树有很多种表示方法如**:双亲表示法孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。在这里就简单了解其中最常用的孩子兄弟表示法**。structTreeNode{structNode*child;//左边开始的第一个孩子结点structNode*brother;//指向其右边的下一个兄弟结点intdata;//结点中的数据域}其表示方法如下图:1.3树形结构的实际运用场景文件系统是计算机存储和管理文件的一种方式它**利用树形结构来组织和管理文件和文件夹。**在文件系统中树结构被广泛应用它通过父结点和子结点之间的关系来表示不同层级的文件和文件夹之间的关联。2.二叉树2.1概念与结构在树形结构中我们最常用的就是二叉树一棵二叉树是结点的一个有限集合该集合由一个根节点加上两块别称为左子树和右子树的二叉树组成或为空。如图:二叉树有以下特点:二叉树不存在度大于2的结点二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒因此二叉树是有序树。2.2特殊的二叉树在二叉树中我们又有一些特殊的二叉树一个是满二叉树一个是完全二叉树。2.2.1满二叉树一个二叉树如果每一个层的结点数都达到最大值则这个二叉树就是满二叉树。也就是说如果一个二叉树的层数为k且结点总数是(2^k)-1,则为满二叉树。2.2.2完全二叉树完全二叉树是效率很高的数据结构完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的有 n 个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树具有以下特点:除了最后一层每层结点个数达到最大最后一层结点个数不一定达到最大(达到最大则为满二叉树也可以为完全二叉树)结点从左到右依次排序(最后一层如果是右结点则不是完全二叉树)以下为它们的关系图二叉树性质根据满二叉树的特点可知若规定根结点的层数为 1 则一棵非空二叉树的第i层上最多有 **2^{i-1}**个结点若规定根结点的层数为 1 则深度为 h 的二叉树的最大结点数是2^{h} - 1若规定根结点的层数为 1 具有 n 个结点的满二叉树的深度 h log₂(n 1)log 以2为底 n1 为对数2.3二叉树的存储结构二叉树一般可以使用两种结构存储一种是顺序结构一种是链式结构。2.3.1顺序结构顺序结构存储就是使用数组来存储一般使用数组只适合表示完全二叉树因为不是完全二叉树会有空间的浪费完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆一种二叉树使用顺序结构的数组来存储需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事一个是数据结构一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。2.3.2链式结构二叉树的链式结构是指用链表来表示二叉树通常的方法是链表中每个结点由三个域组成即数据域和左右指针域左右指针分别指向该节点的左右孩子所在的链结点的地址。以上就是二叉树的基本概念这里我们先基础了解一下什么是二叉树在后续如何实现二叉树我会再出一篇博客去介绍如何实现二叉树