想系统提升编程能力、查看更完整的学习路线欢迎访问 AI Compasshttps://github.com/tingaicompass/AI-Compass仓库持续更新刷题题解、Python 基础和 AI 实战内容适合想高效进阶的你。 第87课:股票含冷冻期模块:动态规划 |难度:Medium ⭐⭐LeetCode 链接:https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/前置知识:第71课(爬楼梯)、第73课(打家劫舍)、第65课(买卖股票最佳时机)预计学习时间:30分钟 题目描述给定一个整数数组 prices,其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票),但有以下限制:卖出股票后,你无法在第二天买入股票(即冷冻期为 1 天)你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)示例:输入: prices [1,2,3,0,2] 输出: 3 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出] 买入 prices[0] 1, 卖出 prices[1] 2, 利润 1 冷冻期 prices[2] 3 (不能买入) 买入 prices[3] 0, 卖出 prices[4] 2, 利润 2 总利润 1 2 3约束条件:1 ≤ prices.length ≤ 50000 ≤ prices[i] ≤ 1000 边界用例(面试必考)用例类型输入期望输出考察点最小输入prices[1]0单天无法交易单调递增prices[1,2,3,4,5]4一买一卖最优单调递减prices[5,4,3,2,1]0不交易最优含冷冻期影响prices[1,2,3,0,2]3需要跳过冷冻期大规模n5000—性能边界 思路引导生活化比喻想象你是一个股票交易员,但公司有个奇怪的规定:每次卖出股票后,第二天必须休息一天(冷冻期),不能立即买入新股票。笨办法:尝试所有可能的买卖组合,每次卖出后记得跳过一天,然后算出最大利润。这样的话,对于5天的股票价格,可能的组合数以指数级增长,计算量巨大。聪明办法:每天只需要记录三种状态:持有股票:手上有股票,今天不操作或今天买入不持有且不在冷冻期:手上没股票,可以随时买入刚卖出(冷冻期):今天刚卖出,明天不能买入每天根据前一天的这三种状态,计算今天的最大利润。就像玩状态机游戏,从一个状态跳到另一个状态,最后看哪个状态的分数最高!关键洞察核心突破口:用状态机DP建模,每天只有持有、“不持有(可交易)”、冷冻期三种状态,状态之间按规则转移。 解题思维链这一节模拟你在面试中从零开始思考的过程。Step 1:理解题目 → 锁定输入输出输入:整数数组 prices,表示每天的股票价格输出:能获得的最大利润(整数)限制:卖出后必须冷冻1天才能再买入不能同时持有多只股票可以多次买卖Step 2:先想笨办法(暴力法)用回溯枚举所有可能的买卖方案:对每一天,选择买入、“卖出或什么都不做”,然后递归计算后续天数的最大利润。时间复杂度:O(3^n) — 每天3种选择,指数级爆炸瓶颈在哪:大量重复计算,比如第5天持有股票这个状态可能被计算上千次Step 3:瓶颈分析 → 优化方向暴力法中,同样的某一天某种持有状态被反复计算。比如:“第3天持有股票,花费10元” 这个状态,无论之前怎么操作到达这里,后续的最优策略都是一样的核心问题:如何避免重复计算相同的子问题?优化思路:用动态规划记录每天每种状态的最大利润Step 4:选择武器选用:状态机DP(Dynamic Programming with State Machine)理由:问题具有最优子结构:今天的最优决策依赖于昨天的状态存在重叠子问题:相同的(天数,持有状态)会被重复访问冷冻期限制可以建模为状态转移的约束条件模式识别提示:当题目出现多阶段决策 状态限制时,优先考虑状态机DP 解法一:状态机DP — 三状态建模思路定义三种状态:hold[i]:第 i 天结束时持有股票的最大利润sold[i]:第 i 天结束时刚卖出(进入冷冻期)的最大利润rest[i]:第 i 天结束时不持有且不在冷冻期的最大利润状态转移:hold[i] max(hold[i-1], rest[i-1] - prices[i])— 要么昨天就持有,要么今天从rest状态买入sold[i] hold[i-1] prices[i]— 必须从持有状态卖出rest[i] max(rest[i-1], sold[i-1])— 要么昨天就在rest,要么昨天卖出今天进入rest图解过程示例: prices [1, 2, 3, 0, 2] 初始状态(第0天): hold[0] -1 (买入第0天股票,花费1元) sold[0] 0 (不可能卖出,无意义) rest[0] 0 (什么都不做) 第1天 (price2): hold[1] max(hold[0], rest[0]-2) max(-1, 0-2) -1 (保持持有第0天买的) sold[1] hold[0] 2 -1 2 1 (卖出,利润1) rest[1] max(rest[0], sold[0]) max(0, 0) 0 第2天 (price3): hold[2] max(hold[1], rest[1]-3) max(-1, 0-3) -1 sold[2] hold[1] 3 -1 3 2 rest[2] max(rest[1], sold[1]) max(0, 1) 1 第3天 (price0): hold[3] max(hold[2], rest[2]-0) max(-1, 1-0) 1 (从rest买入,成本0) sold[3] hold[2] 0 -1 0 -1 rest[3] max(rest[2], sold[2]) max(1, 2) 2 第4天 (price2): hold[4] max(hold[3], rest[3]-2) max(1, 2-2) 1 sold[4] hold[3] 2 1 2 3 (卖出,总利润3) rest[4] max(rest[3], sold[3]) max(2, -1) 2 最终答案 max(sold[4], rest[4]) max(3, 2) 3Python代码fromtypingimportListdefmaxProfit(prices:List[int])-int: 解法一:状态机DP — 三状态建模 思路:定义持有、卖出、休息三种状态,按规则转移 ifnotpricesorlen(prices)2:return0nlen(prices)# 初始化三个状态数组hold[0]*n# 持有股票的最大利润sold[0]*n# 刚卖出(冷冻期)的最大利润rest[0]*n# 不持有且不在冷冻期的最大利润# 第0天初始状态hold[0]-prices[0]# 买入第0天的股票sold[0]0# 第0天不能卖出rest[0]0# 第0天什么都不做foriinrange(1,n):# 持有:要么昨天就持有,要么今天从rest买入hold[i]max(hold[i-1],rest[i-1]-prices[i])# 卖出:必须从持有状态卖出sold[i]hold[i-1]prices[i]# 休息:要么昨天就在rest,要么昨天卖出rest[i]max(rest[i-1],sold[i-1])# 最后一天,取卖出或休息中的较大值returnmax(sold[n-1],rest[n-1])# ✅ 测试print(maxProfit([1,2,3,0,2]))# 期望输出:3print(maxProfit([1]))# 期望输出:0print(maxProfit([1,2,4]))# 期望输出:3复杂度分析时间复杂度(n) — 遍历一次数组,每天做常数次状态转移具体地说:如果输入规模 n5000,大约需要 5000×315000 次操作空间复杂度(n) — 需要三个长度为n的数组存储状态优缺点✅ 逻辑清晰,状态定义明确,易于理解和调试✅ 时间O(n)已是最优,必须至少看一遍所有价格❌ 空间O(n)可以优化,因为每天只依赖前一天的状态 解法二:状态机DP — 空间优化(最优解)优化思路观察状态转移方程,发现第 i 天的状态只依赖第 i-1 天,不需要保存所有天的历史状态。用三个变量代替三个数组,滚动更新。关键想法:DP数组可以压缩为O(1)空间,因为只需要上一天的状态图解过程滚动变量更新示例: prices [1, 2, 3, 0, 2] 初始: hold -1, sold 0, rest 0 第1天: price2 new_hold max(-1, 0-2) -1 new_sold -12 1 new_rest max(0, 0) 0 更新: hold-1, sold1, rest0 第2天: price3 new_hold max(-1, 0-3) -1 new_sold -13 2 new_rest max(0, 1) 1 更新: hold-1, sold2, rest1 第3天: price0 new_hold max(-1, 1-0) 1 new_sold -10 -1 new_rest max(1, 2) 2 更新: hold1, sold-1, rest2 第4天: price2 new_hold max(1, 2-2) 1 new_sold 12 3 new_rest max(2, -1) 2 更新: hold1, sold3, rest2 答案 max(3, 2) 3Python代码defmaxProfit_optimized(prices:List[int])-int: 解法二:状态机DP — 空间优化(最优解) 思路:用三个变量代替三个数组,滚动更新 ifnotpricesorlen(prices)2:return0# 用三个变量代替数组hold-prices[0]# 持有股票的最大利润sold0# 刚卖出的最大利润rest0# 休息状态的最大利润foriinrange(1,len(prices)):# 注意:必须先保存旧值,因为更新顺序有依赖new_holdmax(hold,rest-prices[i])new_soldholdprices[i]new_restmax(rest,sold)# 更新状态holdnew_hold soldnew_sold restnew_rest# 最后一天,取卖出或休息中的较大值returnmax(sold,rest)# ✅ 测试print(maxProfit_optimized([1,2,3,0,2]))# 期望输出:3print(maxProfit_optimized([1]))# 期望输出:0print(maxProfit_optimized([5,4,3,2,1]))# 期望输出:0复杂度分析时间复杂度(n) — 遍历一次数组空间复杂度(1) — 只用3个变量为什么是最优解✅时间O(n)已达理论下限:必须至少看一遍所有价格才能做出决策✅空间O(1)已达最优:不需要额外存储,只需常数个变量✅代码简洁:逻辑清晰,面试中容易手写正确 Pythonic 写法利用 Python 的多重赋值特性,一行更新所有状态:defmaxProfit_pythonic(prices:List[int])-int:Pythonic 写法:利用多重赋值一行更新状态ifnotpricesorlen(prices)2:return0hold,sold,rest-prices[0],0,0forpriceinprices[1:]:hold,sold,rest(max(hold,rest-price),# 新holdholdprice,# 新soldmax(rest,sold)# 新rest)returnmax(sold,rest)# ✅ 测试print(maxProfit_pythonic([1,2,3,0,2]))# 期望输出:3这个写法利用了 Python 的特性:多重赋值:右边的表达式先全部计算完,再统一赋值给左边,避免了临时变量代码更简洁:从10行压缩到5行,一目了然⚠️面试建议:先写清晰版本展示思路,再提 Pythonic 写法展示语言功底。面试官更看重你的思考过程,而非代码行数。 解法对比维度解法一:三状态数组 解法二:空间优化(最优)时间复杂度O(n)O(n)← 理论最优空间复杂度O(n)O(1)← 空间最优代码难度简单简单面试推荐⭐⭐⭐⭐⭐← 首选适用场景学习理解状态机逻辑面试首选,生产环境为什么是最优解:时间O(n)已是理论下限(必须遍历所有价格)空间从O(n)优化到O(1),提升巨大代码依然简洁易懂,面试中容易写对面试建议:先画出状态转移图,说明三种状态及其转移规则写出最优解(空间优化版),展示对DP优化的理解强调为什么是最优:时间空间都已达最优,无法再优化手动模拟一个小示例,证明逻辑正确 面试现场模拟面试中的完整对话流程,帮你练习边想边说。面试官:请你解决一下这道股票买卖问题,注意有冷冻期限制。你:(审题30秒)好的,这道题要求在有冷冻期的限制下,计算多次买卖股票的最大利润。让我先想一下…我的第一个想法是用回溯枚举所有买卖方案,但时间复杂度是O(3^n),太慢了。不过我注意到这个问题有最优子结构和重叠子问题,可以用动态规划。关键是建立状态机模型:每天有三种状态 — 持有股票、刚卖出(冷冻期)、不持有且可交易。我可以用三个变量滚动更新,时间O(n),空间O(1)。面试官:很好,请写一下代码。你:(边写边说)我定义三个状态变量:hold表示持有股票的最大利润,sold表示刚卖出的最大利润,rest表示休息状态。初始化:第一天买入,hold-prices[0],其他为0。然后遍历每一天,更新三个状态:hold要么保持昨天的,要么今天从rest买入sold必须从hold卖出rest要么保持,要么从sold进入最后返回sold和rest的较大值。面试官:测试一下?你:用示例 [1,2,3,0,2] 走一遍…第0天:买入,hold-1第1天:卖出,sold1,利润1第2天:冷冻期,rest1第3天:买入,hold1(成本0,之前赚了1)第4天:卖出,sold3,总利润3结果正确!再测边界情况 [1],单天无法交易,返回0,也正确。高频追问追问应答策略“能画一下状态转移图吗?”画出三个状态节点和箭头,标注转移条件:“hold→sold(卖出)”, “sold→rest(冷冻期)”, “rest→hold(买入)”“为什么最后是max(sold,rest)?”因为持有股票(hold)意味着还没卖,利润是负的或较小。最优策略肯定是最后手上没股票,要么刚卖出,要么在休息状态“如果冷冻期是2天呢?”状态数增加,需要sold1(刚卖),sold2(冷冻第2天),rest。转移规则类似,sold1→sold2→rest→hold“能不能不用DP,用贪心?”不行。贪心无法处理冷冻期约束,因为当前最优决策(卖出)会影响未来(明天不能买),必须用DP全局考虑 知识点总结Python技巧卡片 # 技巧1:多重赋值 — 一行更新多个变量,避免临时变量a,b,cmax(a,c-x),ax,max(b,c)# 右边先全部计算,再统一赋值# 技巧2:边界处理 — 提前返回简化逻辑ifnotpricesorlen(prices)2:return0# 技巧3:列表切片 — prices[1:] 从第1个元素开始遍历forpriceinprices[1:]:... 底层原理(选读)为什么DP能优化指数级的回溯?回溯法中,第5天持有股票,成本10元这个状态可能通过100种不同路径到达,每条路径都会独立计算后续的最优策略,导致大量重复。DP的核心思想是无后效性:只要知道当前状态(第几天持有情况累计利润),后续的最优策略就是唯一确定的,与之前怎么到达这个状态无关。所以我们可以用一个表格(或变量)记录每个状态的最优值,每个状态只计算一次,从而将时间复杂度从O(3^n)降到O(n)。算法模式卡片 模式名称:状态机DP适用条件:问题可以分解为多个阶段(天数/步骤)每个阶段有若干离散状态(持有/不持有/冷冻等)状态之间有明确的转移规则求全局最优值(最大利润/最小成本)识别关键词:“多次交易”、“状态限制”、“冷冻期”、“买卖股票”模板代码:# 状态机DP模板state1,state2,state3init_valuesforiinrange(1,n):new_state1transition_rule1(state1,state2,state3)new_state2transition_rule2(state1,state2,state3)new_state3transition_rule3(state1,state2,state3)state1,state2,state3new_state1,new_state2,new_state3returnmax(state2,state3)# 根据题意选择最终状态易错点 ⚠️更新顺序错误:直接hold max(hold, rest - price)会导致后续的sold hold price用到了新的hold值,而不是旧值。正确做法:先用临时变量保存新值,最后统一更新,或使用Python多重赋值初始状态设置错误:第0天的hold应该是-prices[0](花钱买入),而不是0。正确做法:仔细理解每个状态的含义,hold表示持有股票的净利润,买入时是负数最终答案错误:返回max(hold, sold, rest)是错的,因为hold表示还持有股票,利润未实现。正确做法:返回max(sold, rest),即最后一天要么刚卖出,要么在休息,手上没股票️ 工程实战(选读)这个算法思想在真实项目中的应用,让你知道学了有什么用。场景1:量化交易策略:在算法交易中,需要考虑交易成本、滑点、冷静期等因素。状态机DP可以建模这些复杂约束,找到最优买卖时机。场景2:资源调度优化:云计算中的虚拟机调度,启动VM后需要预热期,关闭后有冷却期。用状态机DP可以优化VM的启停策略,降低成本。场景3:游戏AI决策:角色扮演游戏中,使用技能后有冷却时间。AI可以用状态机DP计算最优技能释放顺序,最大化伤害输出。️ 举一反三完成本课后,试试这些同类题目来巩固知识:题目难度相关知识点提示LeetCode 121. 买卖股票的最佳时机Easy状态机DP入门只能交易一次,状态更简单LeetCode 122. 买卖股票的最佳时机IIMedium状态机DP无冷冻期,可以贪心或DPLeetCode 123. 买卖股票的最佳时机IIIHard多维状态DP最多2次交易,需要4个状态LeetCode 188. 买卖股票的最佳时机IVHard多维状态DP最多k次交易,状态数2k个LeetCode 714. 买卖股票的最佳时机含手续费Medium状态机DP变体每次交易扣手续费,修改转移方程 课后小测试试这道变体题,不要看答案,自己先想5分钟!题目:如果冷冻期改为2天(即卖出后需要等2天才能再次买入),如何修改状态定义和转移方程? 提示(实在想不出来再点开)需要区分刚卖出(冷冻第1天)和冷冻第2天两个状态,然后 sold1→sold2→rest→hold 的状态链条。✅ 参考答案defmaxProfit_cooldown2(prices:List[int])-int:冷冻期为2天的变体ifnotpricesorlen(prices)2:return0hold-prices[0]# 持有股票sold10# 刚卖出(冷冻第1天)sold20# 冷冻第2天rest0# 可交易状态foriinrange(1,len(prices)):new_holdmax(hold,rest-prices[i])# 只能从rest买入new_sold1holdprices[i]# 从hold卖出new_sold2sold1# 冷冻第1天→第2天new_restmax(rest,sold2)# 冷冻第2天→可交易hold,sold1,sold2,restnew_hold,new_sold1,new_sold2,new_restreturnmax(sold1,sold2,rest)# 测试print(maxProfit_cooldown2([1,2,3,0,2]))# 结果可能不同,需要重新验证核心思路:增加一个中间状态sold2表示冷冻期的第2天,状态转移链条变为hold→sold1→sold2→rest→hold。最后返回max(sold1, sold2, rest),确保手上没股票。如果这篇内容对你有帮助推荐收藏 AI Compasshttps://github.com/tingaicompass/AI-Compass更多系统化题解、编程基础和 AI 学习资料都在这里后续复习和拓展会更省时间。