偏迹（Partial Trace）的定义和数学物理意义

news2026/4/3 22:12:08

我们将通过多个计算示例来掌握偏迹Partial Trace。1. 偏迹的定义1.1 动机在量子力学中复合系统的态用密度矩阵描述。那么当我们只关心子系统时需要忽略掉其中的状态这里通过对子系统求平均来 “忽略”这个操作就是偏迹1.2 数学定义设复合系统的 Hilbert 空间为维数分别为和。取的一组正交归一基则偏迹定义为等价地用矩阵元表示为其中是的基。直观理解把的指标“求和掉”剩下只含的矩阵。2. 示例 1直积态最简单设其中均为矩阵但一般本身是密度矩阵计算取的基。因为所以结果对直积态求的偏迹直接得到。3. 示例 22-qubit 最大纠缠态考虑贝尔态密度矩阵。在基下求用定义计算各个矩阵元所以结果最大纠缠态对求偏迹得到的最大混合态。4. 示例 3使用矩阵分块法2⊗2 系统通用方法对于 2-qubit 是矩阵可以写成分块形式其中都是矩阵。公式即把对角分块加起来。验证示例 2所以 ✅5. 示例 4部分纠缠态设。在基下用分块法结果非最大纠缠时不是最大混合态对角元是纠缠系数的平方。6. 示例 53⊗2 系统不同维度设维度 3基维度 2基。取其中。注意第二项第一个数第二个数。写出矩阵太繁琐用定义即更直接将按的基展开则即验证且半正定。7. 重要性质总结性质公式迹不变线性直积态部分求迹顺序可换8. 计算口诀小系统用定义式直接计算矩阵元。2⊗2 系统用分块法。一般系统将按的基写成块矩阵然后对各对角块求和。掌握了这些示例我们应该能计算任何偏迹了。

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