这是关于LintCode 3866 “有效子数组的数量”的问题。这是一个典型的单调栈应用问题需要计算数组中所有满足特定条件的子数组数量。问题理解有效子数组的定义对于数组nums中的某个子数组nums[i..j]i ≤ j如果该子数组的第一个元素nums[i]是子数组中的最小值则称该子数组为有效子数组。换句话说对于每个起始位置i我们需要找到以i为起点且nums[i]是其中最小值的所有子数组。解题思路核心思想对于每个位置i我们需要找到第一个小于nums[i]的元素位置记作nextSmaller[i]。那么以i为起点的有效子数组可以一直延伸到nextSmaller[i] - 1以i为起点的有效子数组数量 nextSmaller[i] - i为什么因为一旦遇到一个比nums[i]更小的元素nums[i]就不再是子数组的最小值所以所有从 i 开始结束位置在 [i, nextSmaller[i]-1] 范围内的子数组都满足条件示例nums [1, 4, 2, 5, 3] nextSmaller: [5, 2, 5, 4, 5] (5表示到达数组末尾) 计算 i0: 5-0 5 个子数组: [1], [1,4], [1,4,2], [1,4,2,5], [1,4,2,5,3] i1: 2-1 1 个子数组: [4] i2: 5-2 3 个子数组: [2], [2,5], [2,5,3] i3: 4-3 1 个子数组: [5] i4: 5-4 1 个子数组: [3] 总计51311 11代码实现方法一单调栈最优解publicclassSolution{/** * param nums: an integer array * return: the number of valid subarrays */publicintvalidSubarrays(int[]nums){if(numsnull||nums.length0){return0;}intnnums.length;int[]nextSmallernewint[n];// 初始化默认右边没有更小的元素for(inti0;in;i){nextSmaller[i]n;}// 使用单调递增栈栈底到栈顶递增找到下一个更小元素DequeIntegerstacknewArrayDeque();for(inti0;in;i){// 当当前元素小于栈顶元素时栈顶元素的下一个更小元素就是当前元素while(!stack.isEmpty()nums[i]nums[stack.peek()]){intindexstack.pop();nextSmaller[index]i;}stack.push(i);}// 计算总的有效子数组数量intcount0;for(inti0;in;i){countnextSmaller[i]-i;}returncount;}}方法二简化版本直接在遍历中计算publicclassSolution{/** * param nums: an integer array * return: the number of valid subarrays */publicintvalidSubarrays(int[]nums){if(numsnull||nums.length0){return0;}intnnums.length;intcount0;DequeIntegerstacknewArrayDeque();for(inti0;in;i){// 当到达数组末尾或者当前元素小于栈顶元素时while(!stack.isEmpty()(in||nums[i]nums[stack.peek()])){intindexstack.pop();// 当前栈顶元素的下一个更小元素位置是i// 以index为起点的有效子数组数量为 i - indexcounti-index;}if(in){stack.push(i);}}returncount;}}方法三暴力解法用于理解publicclassSolution{/** * param nums: an integer array * return: the number of valid subarrays */publicintvalidSubarrays(int[]nums){if(numsnull||nums.length0){return0;}intnnums.length;intcount0;for(inti0;in;i){count;// 单个元素子数组for(intji1;jn;j){// 检查 nums[i] 是否是子数组 nums[i..j] 中的最小值if(nums[j]nums[i]){count;}else{// 一旦遇到比 nums[i] 小的元素后面的子数组都不满足条件break;}}}returncount;}}算法分析方法一/二单调栈时间复杂度O(n)每个元素最多入栈和出栈一次空间复杂度O(n)用于存储栈方法三暴力时间复杂度O(n²)在最坏情况下数组递增会达到 O(n²)空间复杂度O(1)详细示例演示以nums [3, 1, 2, 4]为例使用方法二简化版本i0: stack [0] i1: nums[1]1 nums[0]3, 弹出0, count 1-0 1 (子数组[3]) stack [1] i2: nums[2]2 nums[1]1, 入栈 stack [1,2] i3: nums[3]4 nums[2]2, 入栈 stack [1,2,3] i4: 结束弹出所有 弹出3, count 4-3 1 (子数组[4]) 弹出2, count 4-2 2 (子数组[2], [2,4]) 弹出1, count 4-1 3 (子数组[1], [1,2], [1,2,4]) 总计1123 7验证所有有效子数组从0开始: [3]从1开始: [1], [1,2], [1,2,4]从2开始: [2], [2,4]从3开始: [4]合计1321 7总结关键观察对于每个起始位置i有效子数组的终点受到右边第一个比nums[i]小的元素位置的限制高效解法使用单调栈在O(n)时间内找到每个元素的下一个更小元素公式总数量 sum(nextSmaller[i] - i) for i 0 to n-1边界处理如果右边没有更小的元素nextSmaller[i] n这个问题的本质是寻找下一个更小元素的应用单调栈是解决这类问题的标准工具。