时域和频域的能量等价性————帕塞瓦尔定理和普朗歇雷尔定理（Plancherel Theorem）
news2026/3/21 7:42:13
帕塞瓦尔定理Parsevals theorem本质上是在说一个信号在“原来的表示里”的总能量等于它在“频域表示里”的总能量。也可以理解成傅里叶变换不会凭空创造能量也不会丢失能量只是把能量从时域重新分配到了频域。假设你有一个信号比如声音、电压、图像的一行像素变化。这个信号可以用两种方式看第一种是时域/空间域你直接看在每个时刻的数值。第二种是频域你把它拆成很多不同频率的正弦波、余弦波或者复指数波的叠加。帕塞瓦尔定理说不管你是直接看原函数还是看它分解出来的各个频率成分计算出来的“总平方和”是一样的。其定义式为由定义式可以看出这里就是统计了时域能量和频域能量的等价性。对于sinc信号有一个能量归一化的性质即这个定理的证明方法就可以用帕塞瓦尔定理我们知道sinc信号的频谱是一个宽度为B高为1/B的们函数因此频域能量积分就为1证毕。还有一个更加一般化的定理普朗歇雷尔定理Plancherel Theorem其定义为这里涉及到了两个函数内积的形式可以看出当时就退化为了帕塞瓦尔定理的形式因而普朗歇雷尔定理为更加一般化的时频域能量衡量定理。
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