多维复高斯分布PDF表达式、协方差矩阵意义探究
news2026/3/17 14:12:41
背景学习《空间信息论》时对于高斯白噪情况下雷达接收信号在已知距离和散射特性条件下似然概率往往取决于噪声的PDF即时间采样点为N的接收信号符合N维复高斯分布。欲推导的表达式首先要使用N维复高斯分布的PDF表达式这里对其中涉及的表达式以及协方差进行学习。理论学习求N维复高斯分布时涉及了一阶矩、二阶矩、协方差矩阵以及矩阵求逆的知识。下面简要说明。矩在数学和统计学中“矩”Moment是用来描述概率分布或一组数据特征的指标。一阶原点矩就是我们常说的数学期望Expectation或者简单理解为平均值。对于离散随机变量对于连续变量算例中复数的一阶原点矩是对实部和虚部分布取均值罢了。二阶中心矩方差 Variance这是最常用的二阶矩即随机变量与其均值之差的平方的期望。协方差矩阵假设我们有一组多维数据包含个特征或变量。协方差矩阵是一个的方阵其中的每个元素代表第个变量和第个变量之间的协方差在信号处理中一般处理的信号均值为0此时协方差变为了互相关。另外即协方差 互相关 - 均值乘积。当相同时因此协方差矩阵形式通常写作公式推导利用上面的结论可以推导出5.5式。根据前面信号建模等价于复高斯白噪下满足N维高斯分布并且噪声功率方差为噪声间相互独立。所以可以得协方差矩阵为并且均值为0代入公式即可得到第一行式子。化简得到第二行过程中有一个线性代数中哈德曼得积有关的公式。总结N为复高斯分布PDF表达式与协方差矩阵、逆矩阵等有关另外协方差矩阵矩阵为0时可以转换为相关矩阵、二阶矩明确各概念之间的关系。
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