二分答案oj洛谷姊妹篇二分答案浮点数二分答案与浮点数二分查找 二分查找二分答案与贪心文章目录二分答案oj洛谷前言题目一P1873 [COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树题意概述思路分析题解代码注意事项题目二P2440 木材加工题意概述思路分析题解代码注意事项题目三P2678 [NOIP 2015 提高组] 跳石头题意概述思路分析题解代码注意事项题目四P3853 [TJOI2007] 路标设置题意概述思路分析题解代码注意事项总结二分答案的解题步骤前言二分答案的核心思想是当答案具有单调性时不直接求解答案而是对答案的值域进行二分将求最优解转化为判定某个值是否可行。每次二分一个候选答案mid通过一个验证函数判断mid是否满足条件根据判断结果缩小搜索区间最终逼近最优解。二分答案的通用模板闭区间写法// 定义 left, rightwhile(leftright){// 闭区间写法// 定义 mid// 根据 mid 进行验证// 根据验证结果更新区间}// 输出答案下面通过四道经典例题逐步加深理解。题目一P1873 [COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树题目链接题意概述给定N NN棵树的高度设定锯片高度H HH所有高度超过H HH的树被锯掉超出部分。求满足锯下的木材总量≥ M \geq M≥M的前提下H HH的最大值。思路分析锯片高度H HH越高锯下的木材越少H HH越低锯下的木材越多。答案具有单调性因此可以二分H HH。二分范围left 0right max(arr)验证计算锯片高度为mid时锯下的木材总量sum若sum M说明mid可行尝试更高的锯片高度left mid 1若sum M说明mid太高降低锯片高度right mid - 1题解代码#includebits/stdc.husingnamespacestd;usinglllonglong;vectorintarr;voidsolve(){ll N,M;cinNM;for(ll i1;iN;i){intx;cinx;arr.push_back(x);}intmaxi*max_element(arr.begin(),arr.end());intleft0,rightmaxi;while(leftright){intmidleft(right-left)/2;ll sum0;for(inti0;iN;i){if(arr[i]mid)sumarr[i]-mid;}if(sumM){leftmid1;}elserightmid-1;}coutleft-1\n;}intmain(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);solve();}注意事项1.max_element的使用max_element是 C 标准库algorithm中的算法用于查找范围内的最大元素。特性说明适用范围不限容器类型数组、vector、deque等均可返回值返回迭代器对于数组是指针需用*解引用获取数值时间复杂度O ( N ) O(N)O(N)线性扫描多个最大值返回第一个最大值的迭代器空范围传入空范围时行为未定义需自行检查自定义类型需要提供比较函数或重载运算符2. 为什么输出left - 1循环结束时left right 1。在最后一次满足sum M的迭代中执行了left mid 1所以最后一个可行的答案是left - 1。题目二P2440 木材加工题目链接题意概述给定N NN根原木的长度要求将它们切割成K KK段等长的小段求小段的最大长度。思路分析小段长度越长能切出的段数越少长度越短段数越多。答案具有单调性二分小段长度。二分范围left 0right max(tr)验证计算长度为mid时能切出的总段数cnt若cnt K可行尝试更长left mid 1若cnt K不可行缩短right mid - 1题解代码#includebits/stdc.husingnamespacestd;usinglllonglong;vectorlltr;intmain(){ll n,k;cinnk;if(k0){cout0\n;return0;}ll maxi0,sum0;for(inti0;in;i){ll x;cinx;maximax(maxi,x);tr.push_back(x);sumx;}if(sumk){cout0\n;return0;}ll left0,rightmaxi;while(leftright){ll midleft(right-left)/2;ll cnt0;for(inti0;in;i){cnt(tr[i]/mid);}if(cntk)leftmid1;elserightmid-1;}coutleft-1\n;}注意事项1. 特判边界情况k 0时不需要任何小段直接输出0。sum k时即使每段长度为 1 也切不出K KK段直接输出0。这类特判在二分答案题目中很常见如果遗漏会导致二分过程中出现除以零、死循环等问题。2. 识别单调性小段长度增大 → 每根原木能切出的段数减少 → 总段数减少。这种答案增大则验证值单调变化的性质就是使用二分答案的依据。题目三P2678 [NOIP 2015 提高组] 跳石头题目链接题意概述河中有N NN块石头排成一排起点到终点距离为L LL。最多移走M MM块石头使得相邻石头之间的最短跳跃距离最大化。思路分析最短跳跃距离越大需要移走的石头越多距离越小移走的石头越少。答案具有单调性二分最短跳跃距离。二分范围left 1right L验证模拟跳石头过程统计在最短距离为mid的限制下需要移走多少块石头若移走数cnt M可行尝试更大距离left mid 1若cnt M不可行缩小距离right mid - 1题解代码#includebits/stdc.husingnamespacestd;usinglllonglong;vectorllD;intmain(){ll L,N,M;cinLNM;for(inti0;iN;i){ll x;cinx;D.push_back(x);}D.push_back(L);ll left1,rightL;while(leftright){//随着最短跳跃距离的增大移走石头次数增加// cnt: 当前mid难度下需要移走的石头数ll midleft(right-left)/2;intlast0;intcnt0;for(inti0;iN;i){if(D[i]-lastmid)cnt;elselastD[i];}if(cntM)leftmid1;elserightmid-1;}coutleft-1\n;}注意事项1. 单调性分析最短跳跃距离增大 → 更多的相邻石头间距不满足要求 → 需要移走更多石头。这就是本题使用二分答案的依据。2. 验证函数的核心模拟跳跃过程与前两道题直接计算一个数值不同本题的验证需要模拟跳石头的过程使用两个变量变量含义last上一次落脚的位置初始为起点 0cnt需要移走的石头数量遍历每块石头时如果当前石头与last的距离 mid说明这块石头太近了必须移走cnt如果距离 mid可以落脚更新last为当前石头位置3. 将终点加入数组终点距离L LL处不能被移走但需要作为最后一次跳跃的目标参与计算。因此在读入数据后执行D.push_back(L)循环范围相应地变为i N。题目四P3853 [TJOI2007] 路标设置题目链接题意概述公路上已有N NN个路标最多再添加K KK个路标使得相邻路标的最大间距最小化。思路分析最大间距越大需要添加的路标越少间距越小需要添加的路标越多。答案具有单调性二分最大间距。二分范围left 1right L验证计算将最大间距限制为mid时需要添加多少个路标若添加数cnt K可行尝试更小间距right mid - 1若cnt K不可行放宽间距left mid 1题解代码#includebits/stdc.husingnamespacestd;usinglllonglong;vectorllsig;intmain(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);ll L;intN,K;cinLNK;for(inti0;iN;i){ll num;cinnum;sig.push_back(num);}ll left1,rightL;while(leftright){ll midleft(right-left)/2;//两点最大距离//两点最大距离增大放置路标的数量减小intcnt0;ll lastsig[0];for(inti1;iN;i){ll lastsig[i-1];ll lensig[i]-last;if(lenmid){cnt(len-1)/mid;//放置路标数量}}if(cntK)rightmid-1;elseleftmid1;}coutright1\n;}注意事项1. 核心公式cnt (len - 1) / mid这是本题最关键的一行。两个相邻路标间距为len要把这段间隔切分成每段不超过mid的小段需要在中间添加多少个路标需要的段数为⌈ l e n m i d ⌉ \lceil \frac{len}{mid} \rceil⌈midlen​⌉向上取整需要添加的路标数 段数 - 1 ⌈ l e n m i d ⌉ − 1 \lceil \frac{len}{mid} \rceil - 1⌈midlen​⌉−1利用整数向上取整公式⌈ a b ⌉ ⌊ a − 1 b ⌋ 1 \lceil \frac{a}{b} \rceil \lfloor \frac{a-1}{b} \rfloor 1⌈ba​⌉⌊ba−1​⌋1得到⌈ l e n m i d ⌉ − 1 ⌊ l e n − 1 m i d ⌋ 1 − 1 ⌊ l e n − 1 m i d ⌋ \lceil \frac{len}{mid} \rceil - 1 \lfloor \frac{len-1}{mid} \rfloor 1 - 1 \lfloor \frac{len-1}{mid} \rfloor⌈midlen​⌉−1⌊midlen−1​⌋1−1⌊midlen−1​⌋所以(len - 1) / mid正好就是需要添加的路标数。2. 判断方向的技巧反面思考如果不确定cnt K时应该更新left还是right可以从反面入手当cnt K路标不够用→ 需要放宽间距限制 → 增大mid→left mid 1当cnt K路标够用→ 题目求最大间距的最小值尝试更小的间距 →right mid - 1总结二分答案的解题步骤步骤内容1. 识别单调性确认答案增大时验证值单调变化这是能用二分答案的前提2. 确定二分范围根据题意确定left和right的初始值保证答案一定在区间内3. 编写验证函数给定候选答案mid判断是否可行这往往是题目的难点4. 确定更新方向根据可行时应该尝试更大还是更小来决定更新left还是right5. 特判边界检查是否有需要提前处理的特殊情况如全为 0、无解等6. 输出答案循环结束后根据更新方向输出left - 1或right 1