前情概要

高三的学生几乎都听老师说过，数列是特殊的函数，那么如何理解这句话呢，无外乎需要关注两点：①函数性，②特殊性，以下举例说明，帮助各位学子理解。

函数特性

既然是按照一定的次序排列而成的一列数字，那么这些数字($a_n$)自然就是次序$n$的函数，所以我们学习数列时，首先就应该从函数的角度体会这个特殊的数学素材，即$a_n=f(n)$。不过和以前我们学习的函数有点不一样，比如$f(x)=2x^2-3x+1，x\in [-2，16]$，其图像是区间$[-2，16]$上的连续曲线，没有间断的，而数列$a_n=2n^2-3n+1$，她的图像是一些离散的点，这些点并不能连成曲线，原因是自变量$n$的取值不是连续取值，意思是当$n=3$后，只能取$n=4$，不能取$n=3.01$或$n=3.5$等这些值。

特殊之处

其特殊性体现在以下几个方面：

其一、定义域比较特殊，数列的定义域是正整数集$N^{\ast }$或者正整数集的有限子集 { 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n } \{1，2，3，\cdots，n\} { 1，2，3，⋯，n}，注意数列中没有$a_0$项；

其二、以比较特殊的数列为例，比如二次型的数列的最值和二次函数不一样；

其三、以比较特殊的数列为例，比如二次型的数列的单调性和二次函数不一样；

典例剖析

例1、已知$a>0$，数列 { a n } \{a_n\} { an​}满足$a_n=\{\begin{array}{l}(3-a)n-3，n\le 7\\ a^{n-6}，n>7\end{array}$，数列 { a n } \{a_n\} { an​}是单调递增数列，求$a$的取值范围。

考点：数列的单调性，分段函数，数列与分段函数的交汇

分析：由题目可知，$\{\begin{array}{l}3-a>0，\\ a>1，\\ (3-a)7-3<a^{8-6}，\end{array}$，解得：$a\in (2，3)$

感悟反思：1、如果是一般的函数$f(x)$，则比较点$A$和点$C$的函数值的大小关系；现在是分段数列，那么我们需要比较的是点$A$和点$B$的函数值的大小关系；

例2、已知$a>0$，函数$f(x)$满足$f(x)=\{\begin{array}{ll}(3-a)x-3& x\le 7\\ a^{x-6}& x>7\end{array}$，函数$f(x)$在$R$上单调递增，求$a$的取值范围。

分析：由题目可知，$\{\begin{array}{ll}& 3-a>0①\\ & a>1②\\ & (3-a)7-3\le a^{7-6}③\end{array}$；即$\{\begin{array}{ll}& a<3\\ & a>1\\ & a\ge \frac{9}{4}\end{array}$

解得：$a\in [\frac{9}{4}，3)$；

反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域$R$上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。

2、防错秘籍：既要保证每段上的单调性，还要保证转折点处的单调性。

例3、已知数列 { a n } \{a_n\} { an​}中，$a_n=n^2-kn(k\in N)$，且 { a n } \{a_n\} { an​}单调递增，则$k$的取值范围为【 】

$A.(-\infty ，2]$ $B.(-\infty ，3)$ $C.(-\infty ，2)$ $D.(-\infty ，3]$

考点：数列的单调性，二次函数的对称性和单调性，恒成立命题

【法1】：利用数列单调性的一般定义求解；

由于$a_n=n^2-kn(n\in N^{\ast })$，且 { a n } \{a_n\} { an​}单调递增，

所以$a_{n+1}-a_n>0$对$\forall n\in N\ast$都成立，

又$a_{n+1}-a_n=(n+1{)}^2-k(n+1)-n^2+kn=2n+1-k$，所以由$2n+1-k>0$，

即$k<2n+1$恒成立，可知$k<(2n+1{)}_{min}=3$.

【法2】：借助数列对应的二次函数独特性质，如对称性和单调性求解

$a_n=(n-\frac{k}{2}{)}^2-\frac{k^2}{4}$，其对称轴是$n=\frac{k}{2}$，

要使得 { a n } \{a_n\} { an​}单调递增，

则必须且只需$\frac{k}{2}<\frac{3}{2}$，解得$k<$