书接前四篇
强化学习的前世今生（一）
强化学习的前世今生（二）
强化学习的前世今生（三）— PPO算法
强化学习的前世今生（四）— DDPG算法
本文为大家介绍SAC算法

7 SAC

7.1 最大熵强化学习

在信息论中，熵(entropy)是用来衡量一个随机变量不确定性大小的度量，对于一个随机变量$X$，其定义为
$$\begin{array}{rl}H(X)& ={\mathbb{E}}_{x\sim p(x)}[-\log p(x)]\end{array}\text{\hspace{1em}(7.1)}$$
首先，说明$X$的不确定性和熵的大小的关系：

若$X$为连续型随机变量，简便起见，仅考虑$X$服从正态分布$p(x)=\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$的情况，此时
$$H(X)=\frac{1}{2}\log (2\pi e{\sigma }^2)\text{\hspace{1em}(7.2)}$$
若$X$为离散型随机变量，可能的取值为$x_1,\cdots ,x_n$，对应的概率为$p(x_1),\cdots ,p(x_n)$，则其对应的熵可以写为
$$H(X)=-\sum _{i=1}^{n}p(x_i)\log p(x_i)\text{\hspace{1em}(7.3)}$$
不难看出，当$X$在其所有可能取值处概率相等时，熵的值最大，为$\log (n)$；当$X$在某个取值处概率为$1$，其他取值 处概率为$0$时，熵的值最小，为$0$

综上所述，可以看出，$X$的不确定性越大，其对应的熵也越大。后文也记服从某个分布$p(\cdot )$的随机变量的熵为$H(p(\cdot ))$

最大熵强化学习(maximum entropy RL)算法希望在最大化累积奖励的同时，还要使得策略更加随机，因此在强化学习的目标函数中引入了一个熵正则项，并将最大熵强化学习框架下的最优策略定义为
$${\pi }_{\mathrm{MaxEnt}}^{\ast }\stackrel{\mathrm{def}}{=}\underset{\pi }{\mathrm{argmax}}{\mathbb{E}}_{\pi }\left\{\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t\left[r(s_t,a_t)+\alpha H(\pi (\cdot |s_t))\right]\right\}\text{\hspace{1em}(7.4)}$$
其中
$$H(\pi (\cdot |s_t))={\mathbb{E}}_{a_t\sim \pi (a_t|s_t)}[-\log \pi (a_t|s_t)]\text{\hspace{1em}(7.5)}$$
表示策略$\pi$在状态$s_t$下的不确定度，$\alpha$为正则化系数，也称温度系数，用来控制熵的重要程度。此处，我们称这种更加随机的策略。

7.2 能量模型

借鉴物理学中的玻尔兹曼分布(Boltzmann distribution)，可以得出能量模型(energy-based model)
$$p(x)=\frac{\exp (-E(x))}{Z}=\frac{\exp (-E(x))}{\int \exp (-E(x))dx}\text{\hspace{1em}(7.6)}$$
其中$E(x)$是状态$x$的能量，$Z$为配分函数(partition function)，用于归一化

在本节中，通过能量模型来给出策略$\pi$的形式如下，其中策略$\pi$的能量定义为$-\frac{1}{\alpha }{Q}_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t,a_t)$
$$\pi (a_t|s_t)=\frac{\exp \left(\frac{1}{\alpha }{Q}_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t,a_t)\right)}{\int \exp \left(\frac{1}{\alpha }{Q}_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t,a)\right)da}\text{\hspace{1em}(7.7)}$$
此处策略$\pi$具有softmax函数的形式，故后续该策略形式的方法称为soft类方法。

定义策略$\pi$的soft Q value为
$$Q_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t,a_t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}r(s_t,a_t)+{\mathbb{E}}_{(s_{t+1},\cdots )\sim p^{\pi }(s_{t+1},\cdots |s_t,a_t)}\left\{\sum _{l=0}^{\infty }{\gamma }^{t+l}\left[r_{t+l}+\alpha H(\pi (\cdot |s_{t+l}))\right]\right\}\text{\hspace{1em}(7.8)}$$
再定义策略$\pi$的soft state value为
$$V_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\alpha \log \int \exp \left(\frac{1}{\alpha }{Q}^{\pi }(s_t,a^{\prime })\right)d{a}^{\prime }\text{\hspace{1em}(7.9)}$$
结合$(7.7),(7.10)$，可以得到
$$\pi (a_t|s_t)=\frac{\exp \left(\frac{1}{\alpha }{Q}_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t,a_t)\right)}{\exp \left(\frac{1}{\alpha }{V}_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t)\right)}=\exp \left(\frac{1}{\alpha }(Q_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t,a_t)-V_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t))\right)\text{\hspace{1em}(7.10)}$$
其中$\frac{1}{\alpha }{V}^{\pi }(s_t)$为配分函数的对数，由该式不难看出
$$\begin{array}{rl}{V}_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t)& =Q_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t,a_t)-\alpha \log (a_t|s_t)\end{array}\text{\hspace{1em}(7.11)}$$
为增强计算的鲁棒性，也可将$(7.11)$写成
$$V_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t)={\mathbb{E}}_{a_t\sim \pi (a_t|s_t)}[Q_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t,a_t)-\alpha \log (a_t|s_t)]\text{\hspace{1em}(7.12)}$$
soft Q value和soft state value之间的关系为
$$\begin{gathered} Q_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_t,a_t)=r(s_t,a_t)+\gamma {\mathbb{E}}_{s_{t+1}\sim p(s_{t+1}|s_t,a_t)}\left[V_{\mathrm{soft}}^{\pi }(s_{t+1})\right] \\ \text{\hspace{1em}(7.13)} \end{gathered}$$
上式也称为soft贝尔曼方程。

7.3 soft策略迭代

soft策略迭代算法由二条引理和一条定理给出，其中引理一指导策略评估，引理二指导策略提升，而最后的定理则保证经过不断交替策略评估与策略提升，策略将收敛于最优策略，下面逐条说明。

为说明引理一，首先定义贝尔曼回溯算子${\mathcal{T}}^{\pi }$：对于任意映射$Q:\mathcal{S}\times \mathcal{A}\to \mathbb{R}$
$${\mathcal{T}}^{\pi }Q(s_t,a_t)=r(s_t,a_t)+\gamma {\mathbb{E}}_{s_{t+1}\sim p(s_{t+1}|s_t,a_t)}[V(s_{t+1})]\text{\hspace{1em}(7.14)}$$
其中
$$V(s_t)={\mathbb{E}}_{a_t\sim \pi (a_t|s_t)}[Q(s_t,a_t)-\log \pi (a_t|s_t)]\text{\hspace{1em}(7.15)}$$
$引理一\text{(soft策略评估)}$：对一个贝尔曼回溯算子${\mathcal{T}}^{\pi }$，任意给定一个初始映射$Q_0:\mathcal{S}\times \mathcal{A}\to \mathbb{R}$以及$|\mathcal{A}|<\infty$，并定义$Q_{k+1}={\mathcal{T}}^{\pi }{Q}_k$，则当$k\to \infty$时，序列 { Q k } \{Q_{k}\} {Qk​}收敛于策略$\pi$的soft Q value

再说明引理二，首先定义
$$\begin{array}{rl}{\pi }_{\mathrm{new}}& =\underset{\pi \in \Pi }{\mathrm{argmin}}{D}_{KL}\left(\pi (\cdot |s_t)\Vert \frac{\exp (Q^{{\pi }_{\mathrm{old}}}(\cdot |s_t))}{Z^{{\pi }_{\mathrm{old}}}}\right)\\ & =\underset{\pi \in \Pi }{\mathrm{argmin}}{\mathbb{E}}_{a_t\sim \pi (a_t|s_t)}\left[\log \left(\frac{\pi (a_t|s_t)}{\frac{\exp (\frac{1}{\alpha }{Q}^{{\pi }_{\mathrm{old}}}(\cdot |s_t))}{Z^{{\pi }_{\mathrm{old}}}}}\right)\right]\\ & =\underset{\pi \in \Pi }{\mathrm{argmin}}{\mathbb{E}}_{a_t\sim \pi (a_t|s_t)}\left[\log \pi (a_t|s_t)-\frac{1}{\alpha }{Q}^{{\pi }_{\mathrm{old}}}(a_t|s_t)+\log Z^{{\pi }_{\mathrm{old}}}\right]\\ & =\underset{\pi \in \Pi }{\mathrm{argmin}}{\mathbb{E}}_{a_t\sim \pi (a_t|s_t)}\left[\log \pi (a_t|s_t)-\frac{1}{\alpha }{Q}^{{\pi }_{\mathrm{old}}}(a_t|s_t)\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(7.16)}$$
其中$Z^{{\pi }_{\mathrm{old}}}$为归一化因子。可以看出，上式要求新策略下的动作分布与玻尔兹曼分布尽可能接近。

$引理二\text{(soft策略提升)}$：对任意${\pi }_{\mathrm{old}}\in \Pi$，令${\pi }_{\mathrm{new}}$为$(7.16)$的解，则$Q^{{\pi }_{\mathrm{new}}}(s_t,a_t)⩾Q^{{\pi }_{\mathrm{old}}}(s_t,a_t)$

$定理\text{(soft策略迭代)}$：交替应用soft策略评估和soft策略提升，任意初始策略$\pi$收敛到最优策略${\pi }^{\ast }$，即对任意$\pi \in \Pi$和$(s_t,a_t)\in \mathcal{S}\times \mathcal{A}$，且$|\mathcal{A}|<\infty$，满足$Q^{{\pi }^{\ast }}(s_t,a_t)>Q^{\pi }(s_t,a_t)$

尽管上述理论可以找到最优策略，但只能在表格情况下执行算法，因此后面对该方法进行近似，以适用于连续空间领域，即使用神经网络来近似Q值。

7.4 SAC算法

SAC(Soft Actor Critic)算法中，采用的优化框架为
$$\begin{array}{rl}& \underset{\pi }{\max }{\mathbb{E}}_{\pi }\left[\sum _{t=0}^{T}r(s_t,a_t)\right]\text{subject to}H(\pi (\cdot |s_t))⩾H_0\end{array}\text{\hspace{1em}(7.17)}$$
通过引入对偶变量${\alpha }_t$，可将上式的求解过程等价于从$t=T-1$到$t=0$，交替优化
$$\begin{array}{rl}{\pi }_t^{\ast }& =\underset{{\pi }_t}{\mathrm{argmax}}{\mathbb{E}}_{(s_t,a_t)\sim p^{{\pi }_t}(s_t,a_t)}[Q^{\ast }(s_t,a_t)+{\alpha }_{t}H({\pi }_t(\cdot |s_t))-{\alpha }_t{H}_0]\\ {\alpha }_t^{\ast }& =\underset{{\alpha }_t}{\mathrm{argmax}}{\mathbb{E}}_{(s_t,a_t)\sim p^{{\pi }_t}(s_t,a_t)}[{\alpha }_{t}H({\pi }_t^{\ast }(\cdot |s_t))-{\alpha }_t{H}_0]\end{array}\text{\hspace{1em}(7.18)(7.19)}$$
其中$p^{{\pi }_t}(s_t,a_t)$表示在策略${\pi }_t$下在$t$时刻状态动作对为$(s_t,a_t)$的概率，$Q$函数定义如下
$$\begin{array}{rl}Q(s_T,a_T)& =Q^{\ast }(s_T,a_T)=r(s_T,a_T)\\ Q(s_t,a_t)& =r(s_t,a_t)+{\mathbb{E}}_{s_{t+1}\sim p(s_{t+1}|s_t,a_t),a_{t+1}\sim {\pi }_{t+1}(a_{t+1}|s_{t+1})}[Q(s_{t+1},a_{t+1})-{\alpha }_t\log {\pi }_{t+1}(a_{t+1}|s_{t+1})]\\ Q^{\ast }(s_t,a_t)& =r(s_t,a_t)+{\mathbb{E}}_{s_{t+1}\sim p(s_{t+1}|s_t,a_t),a_{t+1}\sim {\pi }_{t+1}^{\ast }(a_{t+1}|s_{t+1})}[Q(s_{t+1},a_{t+1})-{\alpha }_t\log {\pi }_{t+1}^{\ast }(a_{t+1}|s_{t+1})]\end{array}\text{\hspace{1em}(7.20)}$$
可以看到，$Q$函数的递推关系与soft 策略评估一致，策略优化的形式在稍加转换后也与soft 策略提升一致

SAC是一个Actor-Critic类算法，其中包含$5个神经网络$，分别为两个用于避免Q值的过高估计的训练动作价值网络，以及用于这两个网络各自对应的目标动作价值网络，和一个策略网络。

根据soft 策略评估方法，任意一个训练动作价值网络$Q_{w_j},j=1,2$的损失函数为
$$\begin{array}{rl}L(w_j)& ={\mathbb{E}}_{(s_t,a_t,r_{t+1},s_{t+1})\sim \mathcal{R}}\left[(Q_{w_j}(s_t,a_t)-(r_t+\underset{j=1,2}{\min }{Q}_{w_j^{-}}(s_{t+1},a_{t+1})-\alpha \log {\pi }_{\theta }(a_{t+1}|s_{t+1})){)}^2\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(7.21)}$$
其中取$\min$是为了避免Q值估计过高，下同。

根据soft 策略提升方法，策略网络${\pi }_{\theta }$的损失函数可写为
$$L(\theta )={\mathbb{E}}_{s_t\sim \mathcal{R},a_t\sim {\pi }_{\theta }(a_t|s_t)}[\alpha \log {\pi }_{\theta }(a_t|s_t)-\underset{j=1,2}{\min }{Q}_{w_j}(s_t,a_t)]\text{\hspace{1em}(7.22)}$$
注意，SAC的策略网络输出的并不是动作本身的概率，而是高斯分布的均值${\mu }_{\theta }(s_t)$和标准差${\sigma }_{\theta }(s_t)$，得到高斯分布参数后根据$a_t\sim \mathcal{N}({\mu }_{\theta }(s_t),{\sigma }_{\theta }^2(s_t))$进行采样得到动作

虽然采样的过程和策略参数$\theta$有关，但因为$a_t$无法表示为$\theta$的确定性函数，故采样过程不可导，即$a_t$无法对$\theta$求导。而要通过$(7.22)$优化策略参数，必须知道动作对策略参数的导数。因此采用$\text{重参数化技巧(reparameterization trick)}$，先从一个单位高斯分布${ϵ}_t\sim \mathcal{N}(0,1)$中采样，再将采样结果乘以标准差${\sigma }_{\theta }$再加上均值${\mu }_{\theta }$，再考虑到动作的输出常会被限制在固定范围，如$(-1,1)$，故
$$\begin{array}{rl}{u}_t& ={\mu }_{\theta }(s_t)+{\sigma }_{\theta }(s_t)\ast {ϵ}_t\\ a_t& =\tanh (u_t)\end{array}\text{\hspace{1em}(7.23)(7.24)}$$
通过重参数化技巧，将采样过程转换为了以$\theta$为参数的确定映射，记为$a_t=f_{\theta }({ϵ}_t;s_t)$，此时$a_t$对$\theta$可导。可以策略网络的重新写出损失函数为
$$L(\theta )={\mathbb{E}}_{s_t\sim \mathcal{R},{ϵ}_t\sim \mathcal{N}(0,1)}[\alpha \log {\pi }_{\theta }(f_{\theta }({ϵ}_t;s_t)|s_t)-\underset{j=1,2}{\min }{Q}_{w_j}(s_t,f_{\theta }({ϵ}_t;s_t))]\text{\hspace{1em}(7.24)}$$
下面解释在上面中并未详细说明的$\log {\pi }_{\theta }(a_t|s_t)$的形式：设$u_t$的概率分布是$\mu (u_t|s_t)$，根据复合函数的概率分布法则，动作$a_t$的概率为
$$\begin{array}{rl}\pi (a_t|s_t)& =\mu ({\tanh }^{-1}(a_t)|s_t)\left|\det \left(\frac{{\tanh }^{-1}(a_t)}{d{a}_t}\right)\right|\\ & =\mu (u_t|s_t)\left|\det \left(\frac{d{u}_t}{d{a}_t}\right)\right|\\ & =\mu (u_t|s_t)\left|\det \left({\left(\frac{d{a}_t}{d{u}_t}\right)}^{-1}\right)\right|\\ & =\mu (u_t|s_t){\left|\det \left(\frac{d{a}_t}{d{u}_t}\right)\right|}^{-1}\end{array}\text{\hspace{1em}(7.25)}$$
上式中第二个等号开始只是数值上的相等，而非分布本身，由于$\frac{d{a}_t}{d{u}_t}=\mathrm{diag}(1-{\tanh }^2(u_t))$，故
$$\log {\pi }_{\theta }(a_t|s_t)=\log \mu (u_t|s_t)-\sum _{i=1}^D\log (1-{\tanh }^2(u_t^i))\text{\hspace{1em}(7.26)}$$
其中$D$表示动作$a_t$的维度，也是中间变量$u_t$的维度。

上面说明了SAC中训练动作价值网络和策略网络的更新方式，而目标网络的更新方式与DDPG中相同。

此外，根据$(7.19)$可以写出对偶变量${\alpha }_t$的损失函数

$$L({\alpha }_t)={\mathbb{E}}_{s_t\sim \mathcal{R},a_t\sim {\pi }_{\theta }(a_t|s_t)}[-\alpha \log \pi (a_t|s_t)-\alpha H_0]\text{\hspace{1em}(7.27)}$$

SAC算法的伪代码如下：

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1 初始化策略网络参数$\theta$和两个价值网络参数$w_1,w_2$

2 复制相同参数到目标策略网络参数${\theta }^{-}$和目标价值网络参数$w^{-}$，即令${\theta }^{-}\leftarrow \theta ,w_j^{-}\leftarrow w_j,j=1,2$

3 获取环境初始状态$s_0$

4 如果策略网络参数或价值网络参数没有收敛，循环执行

5 根据当前策略决定的动作分布${\pi }_{\theta }(a_t|s_t)$中抽样动作$a_t$

6 执行动作$a_t$，得到奖励$r_t$，进入下一个状态$s_{t+1}$

7 将$(s_t,a_t,r_t,s_{t+1})$放入经验回放池$\mathcal{R}$

8 从经验回放池$\mathcal{R}$中抽样$N$个元组$\{(s_i,a_i,r_i,s_{i+1}){\}}_{i=1,\cdots ,N}$，并采样$a_{i+1}\sim {\pi }_{\theta }(a_{i+1}|s_{i+1})$

9 对每个元组，通过目标网络计算$y_i=r_i+{\min }_{j=1,2}{Q}_{w_j^{-}}(s_{i+1},a_{i+1})-\alpha \log {\pi }_{\theta }(a_{i+1}|s_{i+1})$

10 对两个价值网络$Q_{w_j},j=1,2$构造相同的损失函数
$$L(w_j)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(y_i-Q_{w_j}(s_i,a_i){)}^2$$
11 自动推导梯度并更新价值网络参数$w\leftarrow w-{\eta }_w{\nabla }_{w}L(w)$

12 采用重参数化技巧采样动作${\tilde{a}}_t$，用以下损失函数更新策略网络${\pi }_{\theta }$
$$L(\theta )=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{Q}_w(\alpha \log {\pi }_{\theta }({\tilde{a}}_t|s_t)-\underset{j=1,2}{\min }{Q}_{w_j}(s_t,a_t))$$
13 自动推导梯度并更新价值网络参数$\theta \leftarrow \theta -{\eta }_{\theta }{\nabla }_{\theta }L(\theta )$

14 构造$\alpha$的损失函数
$$L(\alpha )=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(-\alpha \log \pi (a_t|s_t)-\alpha H_0)$$
13 自动推导梯度并更新价值网络参数$\alpha \leftarrow \alpha -{\eta }_{\alpha }{\nabla }_{\alpha }L(\alpha )$

14 采用软更新的方式更新目标网络参数
$$\begin{array}{rl}{w}_1^{-}& \leftarrow \varphi w_1+(1-\varphi )w_1^{-}\\ w_2^{-}& \leftarrow \varphi w_2+(1-\varphi )w_2^{-}\\ & \end{array}$$

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参考

[1] Reinforcement Learning with Deep Energy-Based Policies
[2] Soft Actor-Critic Algorithms and Applications
[3] Soft Actor-Critic: Off-Policy Maximum Entropy Deep Reinforcement Learning with a Stochastic Actor
[4] 最前沿：深度解读Soft Actor-Critic 算法
[5] Lil’Log Policy Gradient Algorithms
[6] 动手学强化学习