1. 体渲染公式推导

如下图所示，渲染图像上点 $P$ 的颜色值 $c$ 是累加射线 $\overrightarrow{OP}$ 在近平面和远平面范围内采样的一系列点的颜色值得到的。

具体的计算公式如下：
$$C(\mathbf{r})={\int }_{t_n}^{t_f}T(t)\sigma (\mathbf{r}(t))c(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})dt$$其中：

• $T(t)=\exp (-{\int }_{t_n}^t\sigma (\mathbf{r}(s))ds)$，$T(t)$ 为累积透射率，表示光线从起点传播到位置 $t$ 时未被阻挡的概率
• $\sigma (\mathbf{x})$ 表示体密度，反映光线在空间位置 $\mathbf{x}$ 处被微小粒子阻挡的概率密度
• $\mathbf{r}(t)=\mathbf{o}+t\mathbf{d}$，$\mathbf{o}$ 为相机位置，$\mathbf{d}$ 为射线 $\overrightarrow{OP}$ 的方向向量，即用 $\mathbf{r}(t)$ 表示射线 $\overrightarrow{OP}$
• $t_n$ 和 $t_f$ 分别表示近平面和远平面
• $C(\mathbf{r})$ 表示射线 $\overrightarrow{OP}$ 在渲染图像上点 $P$ 的颜色值

现在来推导一下上述的体渲染公式，分为两部分：$T(t)$ 和 $C(\mathbf{r})$。

1.1. $T(t)$ 的推导

假设事件 $A$ 表示光线在区间 $[0,t+dt]$ 没有被阻挡，事件 $B$ 表示光线在区间 $[0,t]$ 没有被阻挡，事件 $C$ 表示光线在区间 $(t,t+dt]$ 没有被阻挡，则有 $P(A)=P(B)P(C)$，其中 $P(A)=T(t+dt)$，$P(B)=T(t)$，$P(C)=1-\sigma (t)dt$。
值得注意的是，由于 $\sigma (t)$ 表示光线在空间位置 $t$ 处被微小粒子阻挡的概率密度，由于 $dt$ 非常小，因此可以将 $\sigma (t)dt$ 近似为光线在空间位置 $t+dt$ 处被微小粒子阻挡的概率，则光线在空间位置 $t+dt$ 没有被阻挡的概率为 $1-\sigma (t)dt$。
即有：
$$T(t+dt)=T(t)(1-\sigma (t)dt)$$进一步转换可得：
$$\frac{T(t+dt)-T(t)}{dt}=-T(t)\sigma (t)$$当 $dt\to 0$ 的时候，有 $T^{\prime }(t)=\frac{T(t+dt)-T(t)}{dt}=\frac{dT}{dt}$，因此可得微分方程：
$$\frac{dT}{T(t)}=-\sigma (t)dt$$现在我们要计算在区间 $[t_n,t]$ 中光线未被阻挡的概率 $T(t_n\to t)$，有
$$\begin{array}{rl}{\int }_{t_n}^t\frac{dT}{T(t)}& =-{\int }_{t_n}^t\sigma (s)ds\\ \ln T(t){|}_{t_n}^t& =-{\int }_{t_n}^t\sigma (s)ds\\ T(t_n\to t)=T(t)-T(t_n)& =\exp (-{\int }_{t_n}^t\sigma (s)ds)\end{array}$$ $T(t)$ 随路径长度增加而指数衰减，表示光线越深入场景，越可能被遮挡（透射率降低）。如果路径上有不透明物体，后续区域的颜色贡献会被完全遮挡（即 $T(t)\to 0$）。这与物理现象一致：光线被前景物体遮挡后，无法看到背景物体。

1.2. $C(r)$ 的推导

在 NeRF 的体积渲染模型中，颜色贡献仅来自光子与介质粒子的碰撞（相互作用），即 $\sigma (\mathbf{r}(t))\ne 0$。光线从近平面 $t_n$ 到远平面 $t_f$ 累积的总颜色为 $C(\mathbf{r})$。在光线路径上，区间 $[t,t+dt]$ 内的颜色贡献 $dC$ 由以下三部分组成：

• 光线达到 $t$ 的概率：$T(t)$
• 在 $[t,t+dt]$ 内光线被阻挡（即光子与介质粒子的碰撞）的概率：$\sigma (\mathbf{r}(t))dt$
• 相互作用的颜色贡献：$c(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})$

则有：
$$dC=T(t)\cdot \sigma (\mathbf{r}(t))dt\cdot c(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})$$对 $dC$ 从 $t_n$ 到 $t_f$ 进行积分可得：
$$C(\mathbf{r})={\int }_{t_n}^{t_f}T(t)\sigma (\mathbf{r}(t))c(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})dt$$如果光线在路径 $t_n\to t_f$ 上未发生任何碰撞（所有 $\sigma (\mathbf{r}(t))=0$），则 $T(t_f)=1$，且 $C(\mathbf{r})=0$。但在实际应用中，NeRF 通常引入背景颜色（例如环境光或者天空）作为默认值，则 $C(\mathbf{r})$ 的表达式改为：
$$C(\mathbf{r})={\int }_{t_n}^{t_f}T(t)\cdot \sigma (\mathbf{r}(t))\cdot c(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})dt+T(t_f)\cdot {\mathbf{c}}_{\mathbf{background}}$$这种情况下，即使没有碰撞点，背景颜色仍会作为最终像素值的一部分。

2. 体渲染公式离散化

由于计算机只能处理离散值，因此需要将前面推导的体渲染公式进行离散化。
首先，我们将区间 $[t_n,t_f]$ 划分成 $N$ 个等距的小区间，从每一个小区间中随机取样一个点作为采样点，如下所示：
$$t_i\sim U\left[t_n+\frac{i-1}{N}(t_f-t_n),t_n+\frac{i}{N}(t_f-t_n)\right]$$假设采样的 $N$ 个点分别为 $t_1,t_2,...,t_N$，现在计算两个采样点 $t_i$ 和 $t_{i+1}$ 之间的颜色累积值 $C_i$，则有
$$\begin{array}{rl}{C}_i& ={\int }_{t_i}^{t_{i+1}}T(t_i\to t)\cdot \sigma (t)\cdot c(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})dt\\ & =\sigma (t_i)\cdot c(t_i){\int }_{t_i}^{t_{i+1}}T(t_i\to t)dt\\ & =\sigma (t_i)\cdot c(t_i){\int }_{t_i}^{t_{i+1}}\exp (-{\int }_{t_i}^t\sigma (s)ds)dt\\ & =\sigma (t_i)\cdot c(t_i){\int }_{t_i}^{t_{i+1}}\exp (-\sigma (t_i)(t-t_i))dt\\ & =\sigma (t_i)\cdot c(t_i){\frac{\exp (-\sigma (t_i)(t-t_i))}{-\sigma (t_i)}|}_{t_i}^{t_{i+1}}\\ & =c(t_i)\cdot (1-\exp (-\sigma (t_i)(t_{i+1}-t_i)))\end{array}$$值得注意的是，由于 $d=t_{i+1}-t_i$ 的数值很小，因此这里`假设区间 $[t_i,t_{i+1}]$ 的体密度为常量 $\sigma (t_i)$，颜色值也为常量 $c(t_i)$。
$$\begin{array}{rl}C(\mathbf{r})& =\sum _{i=1}^N{\int }_{t_i}^{t_{i+1}}T(t)\cdot \sigma (t)\cdot c(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})dt\\ & =\sum _{i=1}^N{\int }_{t_i}^{t_{i+1}}T(0\to t_i)\cdot T(t_i\to t)\cdot \sigma (t)\cdot c(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})dt\\ & =\sum _{i=1}^{N}T(0\to t_i){\int }_{t_i}^{t_{i+1}}T(t_i\to t)\cdot \sigma (t)\cdot c(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})dt\\ & =\sum _{i=1}^{N}T(0\to t_i)\cdot c(t_i)\cdot (1-\exp (-\sigma (t_i)(t_{i+1}-t_i)))\end{array}$$不妨设 $T_i=T(0\to t_i)$，$c_i=c(t_i)$，${\delta }_i=t_{i+1}-t_i$，${\sigma }_i=\sigma (t_i)$，则上述公式可以简化为：
$$C(\mathbf{r})=\sum _{i=1}^N{T}_i\cdot (1-\exp (-{\sigma }_i{\delta }_i))\cdot c_i$$ 对 $T(t)$ 也进行离散化，根据上述公式，我们需要知道 $T(t_i)$ 的离散化公式，如下：
$$T_i=T(t_i)=T(0\to t_i)=\exp \left(-{\int }_0^{t_i}\sigma (t)dt\right)=\exp \left(\sum _{j=1}^{i-1}-{\sigma }_j{\delta }_j\right)$$注意这里的 $j$ 只取值到 $i-1$。
我们可以对体渲染公式做进一步简化，令 ${\alpha }_i=1-\exp (-{\sigma }_i{\delta }_i)$，则有：
$$T_i=\exp \left(\sum _{j=1}^{i-1}-{\sigma }_j{\delta }_j\right)=\prod _{j=1}^{i-1}\exp (-{\sigma }_j{\delta }_j)=\prod _{j=1}^{i-1}(1-{\alpha }_j)=(1-{\alpha }_1)(1-{\alpha }_2)\cdot \cdot \cdot (1-{\alpha }_{i-1})$$$$C(\mathbf{r})=\sum _{i=1}^N(1-{\alpha }_1)(1-{\alpha }_2)\cdot \cdot \cdot (1-{\alpha }_{i-1}){\alpha }_i\cdot c_i=\sum _{i=1}^N{c}_i{\alpha }_i\prod _{j=1}^{i-1}(1-{\alpha }_j)$$令 $w_i={\alpha }_i{\prod }_{j=1}^{i-1}(1-{\alpha }_j)$，则 $w_i$ 可以看做是采样点 $i$ 对最终颜色的贡献权重。
3DGS 中论文给出的渲染公式如下：
$$C=\sum _{i\in N}{c}_i{\alpha }_i\prod _{j=1}^{i-1}(1-{\alpha }_j)$$可以看出两者具有一样的数学表达式。

3. 代码解读

raw2outputs 函数实现了体渲染的计算。
1）计算采样点之间的间距 ${\delta }_i=t_{i+1}-t_i$

dists = z_vals[..., 1:] - z_vals[..., :-1]
dists = torch.cat([dists, torch.Tensor([1e10]).expand(dists[..., :1].shape)], -1)  # [N_rays, N_samples]
dists = dists * torch.norm(rays_d[..., None, :], dim=-1)

2）将模型预测的原始颜色值(raw[…, :3])通过 $sigmoid$ 映射到 $[0,1]$ 范围

rgb = torch.sigmoid(raw[..., :3])  # [N_rays, N_samples, 3]

3）在训练时向体积密度 $\sigma$ 加噪声，防止过拟合

noise = 0.
if raw_noise_std > 0.:
    noise = torch.randn(raw[..., 3].shape) * raw_noise_std

4）计算 ${\alpha }_i=1-\exp (-{\sigma }_i{\delta }_i)$

raw2alpha = lambda raw, dists, act_fn=F.relu: 1. - torch.exp(-act_fn(raw) * dists)
alpha = raw2alpha(raw[..., 3] + noise, dists)  # [N_rays, N_samples]

5）计算每一条射线上的所有采样点的权重 $weights[i]$，并且 $weights[i]={\alpha }_i{\prod }_{j=1}^{i-1}(1-{\alpha }_j)$

weights = alpha * torch.cumprod(torch.cat([torch.ones((alpha.shape[0], 1)), 1. - alpha + 1e-10], -1), -1)[:, :-1]
rgb_map = torch.sum(weights[..., None] * rgb, -2)  # [N_rays, 3]

现在简单模拟一下这个过程的计算：

alpha = [
	[0.1, 0.2], 
	[0.3, 0.4]
]

1 - alpha = [
	[0.9, 0.8], 
	[0.7, 0.6]
]

torch.cat([torch.ones((alpha.shape[0], 1)), 1. - alpha + 1e-10], -1) 的输出为： 
[
	[1, 0.9, 0.8], 
	[1, 0.7, 0.6]
]
torch.cumprod(torch.cat([torch.ones((alpha.shape[0], 1)), 1. - alpha + 1e-10], -1), -1) 的输出为：
[
	[1, 1*0.9, 1*0.9*0.8],
	[1, 1*0.7, 1*0.7*0.6]
]

torch.cumprod(torch.cat([torch.ones((alpha.shape[0], 1)), 1. - alpha + 1e-10], -1), -1)[:, :-1] 的输出为：
[
	[1, 0.9],
	[1, 0.7]
]

alpha * torch.cumprod(torch.cat([torch.ones((alpha.shape[0], 1)), 1. - alpha + 1e-10], -1), -1)[:, :-1] 的输出为：
[[0.1*1, 0.2*0.9] → [0.1, 0.18],
 [0.3*1, 0.4*0.7] → [0.3, 0.28]]

6）计算深度图

depth_map = torch.sum(weights * z_vals, -1)
disp_map = 1. / torch.max(1e-10 * torch.ones_like(depth_map), depth_map / torch.sum(weights, -1))

在 NeRF 中通过加权平均所有采样点的深度，得到每条射线的有效深度。有效深度可以看作是光线穿过场景时，最可能与物体表面相交的深度。有效深度的计算公式如下：
$$\bar{z}=\sum _{i=1}^N{w}_i\cdot z_i$$假设一条光线穿过一个简单的场景（如一个立方体）：
采样点分布如下：

• 采样点 1：位于立方体的前方，${\sigma }_1$ 很小，$w_1$ 接近于 0
• 采样点 2：位于立方体的内部，${\sigma }_2$ 很大，$w_2$ 显著增大
• 采样点 3：位于立方体的后方，${\sigma }_3$ 很小，$w_3$ 接近于 0

则该光线的有效深度为 $\bar{z}\approx w_1{t}_1+w_2{t}_2+w_3{t}_3\approx w_2{t}_2$，即有效深度集中在立方体内部的采样点，符合直觉。

7）计算视差图
在 NeRF 中通过深度倒数计算视差，并添加极小值 1e-10 防止除零，计算公式如下：
$$\text{disp}=\frac{1}{\max (ϵ,{\bar{z}}_{norm})}$$其中，${\bar{z}}_{norm}=\frac{\bar{z}}{{\sum }_{i=1}^N{w}_i}$。
双目相机中视差 $d$ 和 深度 $D$ 的关系如下：
$$d=\frac{Bf}{Z}$$其中：

• $B$：双目相机的基线长度（两相机中心的水平距离）
• $f$：相机焦距
• $Z$：场景点的深度
• $d$：视差（同一场景点在左右图像中的像素偏差）

$d=\frac{Bf}{Z}$ 计算的是绝对深度（实际物理距离），$B$ 和 $f$ 两个参数都需要人为标定。
而 NeRF 中计算视差的公式为 $d=\frac{1}{Z}$，这计算的是相对深度。相对深度描述的是场景中物体之间的相对远近关系，但不提供物体到相机或传感器的实际物理距离。
相对深度图缺乏真实尺度，但可以通过已知的基准点（如标定板）计算比例因子 $\alpha$，将相对深度映射到绝对深度，数学公式如下：
$$绝对深度=\alpha \times 相对深度$$