行列式详解：从定义到应用

news2025/6/6 5:23:49

行列式详解：从定义到应用

引言

行列式是线性代数中的核心概念之一，它不仅是矩阵理论的重要组成部分，更是解决线性方程组、计算向量空间体积、判断矩阵可逆性等问题的关键工具。本文将从行列式的基本定义出发，系统地介绍其性质、计算方法和重要应用。

思维导图

mindmap
  root((行列式))
    定义
      二阶行列式
      三阶行列式
      n阶行列式
      余子式和代数余子式
    性质
      转置不变性
      行列交换变号
      线性性质
      乘积性质
    计算方法
      按行列展开
      化上三角矩阵
      利用性质简化
    特殊行列式
      范德蒙德行列式
      对角行列式
      上下三角行列式
    应用
      克拉默法则
      矩阵可逆性判断
      体积计算
      线性相关性判断

1. 行列式的定义

1.1 二阶行列式

最简单的行列式是二阶行列式，定义为：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

这个公式可以理解为主对角线元素乘积减去副对角线元素乘积。

例如：
$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 3 \times 4 - 2 \times 1 = 12 - 2 = 10$

1.2 三阶行列式

三阶行列式的计算可以使用萨吕斯（Sarrus）法则或按行（列）展开：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$

1.3 余子式和代数余子式

对于n阶行列式中的元素 $a_{ij}$ ：

余子式 $M_{ij}$ ：去掉第i行第j列后得到的 $(n - 1)$ 阶行列式
代数余子式 $A_{ij}$ ： $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$

1.4 n阶行列式的定义

n阶行列式可以按第i行展开定义为：

$\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}$

或按第j列展开定义为：

$\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}$

2. 行列式的重要性质

2.1 基本性质

转置不变性： $A^T| = |A|$
行列交换变号：交换两行（列），行列式变号
比例性：某一行（列）乘以k，行列式也乘以k
加法性：某一行（列）是两个向量之和，行列式等于两个行列式之和

2.2 重要推论

有零行（列）的行列式等于0
有两行（列）相同的行列式等于0
有两行（列）成比例的行列式等于0
某一行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变

2.3 乘积性质

$∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣$

这是行列式最重要的性质之一，对于理解矩阵的几何意义具有重要作用。

3. 行列式的计算方法

3.1 按行（列）展开法

这是定义性的计算方法，适用于任意阶数的行列式：

$\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} \quad \text{(按第i行展开)}$

计算技巧：选择零元素最多的行或列进行展开，可以大大简化计算。

3.2 化上三角矩阵法

利用行列式性质，通过行变换将矩阵化为上三角形式，此时行列式等于对角元素的乘积。

步骤：

用行变换将矩阵化为上三角形
记录行变换对行列式的影响
计算对角元素乘积

例子：
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$

通过行变换：
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -5 \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix}$

交换第二、三行（变号）：
$-\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -5 \end{vmatrix} = -2 \times \frac{5}{2} \times (-5) = 25$

3.3 特殊行列式的计算

对角行列式

$\begin{vmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{vmatrix} = a_1a_2\cdots a_n$

范德蒙德行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n}(x_j - x_i)$