复变函数 $w=z^2$ 的映射图像演示

复变函数 $w=z^2$ 是一个基本的二次函数，在复平面上具有有趣的映射性质。下面我将介绍这个函数的映射特性，并使用MATLAB进行可视化演示。

映射特性

1. 极坐标表示：若 $z=r{e}^{i\theta }$，则 $w=z^2=r^2{e}^{i2\theta }$

   • 模被平方：$|w|=|z{|}^2$
   • 角度加倍：$\arg (w)=2\arg (z)$

2. 直角坐标表示：若 $z=x+iy$，则：
   $$w=(x+iy{)}^2=(x^2-y^2)+i(2xy)$$
   即 $u=x^2-y^2$，$v=2xy$

3. 映射性质：

   • 将第一象限映射到上半平面
   • 将上半平面映射到整个平面（除去负实轴）
   • 角度在原点处加倍

MATLAB 演示代码

以下是使用MATLAB可视化 $w=z^2$ 映射的代码：

clc
clear
% 定义网格
[x, y] = meshgrid(linspace(0, 2, 20), linspace(0, 2, 20));
z = x + 1i*y;

% 计算映射
w = z.^2;
wu=real(w);
wv=imag(w);

% 绘制原始网格
figure;
subplot(1, 2, 1);
plot(real(z), imag(z), 'b.');
hold on;
title('z-平面 (原像)');
xlabel('Re(z)');
ylabel('Im(z)');
axis equal;
grid on;

% 绘制映射后的网格
subplot(1, 2, 2);
plot(real(w), imag(w), 'r.');
hold on;
title('w-平面 (像)');
xlabel('Re(w)');
ylabel('Im(w)');
axis equal;
grid on;

% 绘制单位圆的映射
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
z_circle = exp(1i*theta);
w_circle = z_circle.^2;

figure;
subplot(1, 2, 1);
plot(real(z_circle), imag(z_circle), 'b');
title('z-平面上的单位圆');
xlabel('Re(z)');
ylabel('Im(z)');
axis equal;
grid on;

subplot(1, 2, 2);
plot(real(w_circle), imag(w_circle), 'r');
title('w-平面上的像 (单位圆映射)');
xlabel('Re(w)');
ylabel('Im(w)');
axis equal;
grid on;

运行结果：

可视化结果说明

1. 网格映射：

   • 左侧显示z平面上的直角坐标网格
   • 右侧显示w平面上的映射结果，网格线变成了双曲线

2. 单位圆映射：

   • z平面上的单位圆 $|z|=1$ 被映射为w平面上的单位圆 $|w|=1$，但角度加倍
   • 这意味着圆被"绕了两圈"

通过这些可视化，我们可以直观地理解复变函数 $w=z^2$ 的映射性质。