一、堆的核心定义与性质
堆是一种特殊的完全二叉树，分为最大堆和最小堆：
- 最大堆：每个节点的值 ≥ 子节点值，根节点为最大值。
- 最小堆：每个节点的值 ≤ 子节点值，根节点为最小值。
关键性质：
- 完全二叉树：除最后一层外，其他层节点满，且最后一层节点靠左排列。
- 数组实现：通过索引计算父子节点关系：
- 父节点索引：
parent(i) = (i - 1) // 2 - 左子节点索引：
left(i) = 2 * i + 1 - 右子节点索引：
right(i) = 2 * i + 2
二、堆的存储结构与操作
1. 存储结构
堆通过数组实现，例如数组 [90, 15, 10, 7, 12, 2, 7, 3] 表示的最小堆：
90
/ \
15 10
/ \ / \
7 12 2 7
/
32. 基本操作
- 插入（Insert）：
- 将新元素添加到数组末尾。
- 通过上浮（Sift Up）调整堆序性：比较新节点与父节点，若违反堆序性则交换，直到满足条件。
- 时间复杂度：
O(log n)。
- 删除堆顶元素（Delete）：
- 将堆顶元素与末尾元素交换，并删除末尾元素。
- 通过下沉（Sift Down）调整堆序性：比较当前节点与子节点，若违反堆序性则与较大（最大堆）或较小（最小堆）子节点交换，直到满足条件。
- 时间复杂度：
O(log n)。
- 建堆（Heapify）：
- 自底向上建堆：从最后一个非叶子节点开始，对每个节点执行下沉操作。
- 时间复杂度：
O(n)（优于逐个插入的O(n log n)）。
- 堆排序（Heap Sort）：
- 构建最大堆。
- 反复将堆顶元素（最大值）与末尾元素交换，并缩小堆的范围，最后对新的堆顶执行下沉操作。
- 时间复杂度：
O(n log n)。 - 空间复杂度：
O(1)（原地排序）。
三、堆的实现
(一) 基于动态数组实现最大堆
1. 动态数组实现类
import org.omg.CORBA.Object;
/**
* 动态数组，数组二次封装
*/
public class Array<E> {
/**
* 基于Java原生数组，保存数据的容器
*/
private E[] data;
/**
* 当前元素个数
*/
private int size;
public Array(int capacity) {
data = (E[]) new Object[capacity];
size = 0;
}
/**
* 默认数组容量capacity=10
*/
public Array() {
this(10);
}
public Array(E[] arr) {
data = (E[]) new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
data[i] = arr[i];
}
size = arr.length;
}
/**
* 获取数组中元素个数
* @return
*/
public int getSize() {
return size;
}
/**
* 获取数组的容量
* @return
*/
public int getCapacity() {
return data.length;
}
/**
* 判断数组是否为空
* @return
*/
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
/**
* 在所有元素后面添加新元素
* @param e 元素
*/
public void addLast(E e) {
add(size, e);
}
/**
* 在所有元素前面添加新元素
* @param e 元素
*/
public void addFirst(E e) {
add(0, e);
}
/**
* 向index索引位置插入一个新元素e
* @param index 数组索引位置
* @param e 元素
*/
public void add(int index, E e) {
if (index < 0 || index > size) {
throw new IllegalArgumentException("addList failed. index < 0 || index > size");
}
//空间不足，扩容
if (size == data.length) {
resize(2 * data.length);
}
for (int i = size - 1; i >= index; i--) {
data[i + 1] = data[i];
}
data[index] = e;
size++;
}
/**
* 根据元素索引获取数组元素
* @param index 索引
* @return
*/
public E get(int index) {
if (index < 0 || index >= size) {
throw new IllegalArgumentException("get failed. index is illegal");
}
return data[index];
}
/**
* 根据元素索引修改数组元素
* @param index 索引
* @param e 元素
* @return
*/
public void set(int index, E e) {
if (index < 0 || index >= size) {
throw new IllegalArgumentException("get failed. index is illegal");
}
data[index] = e;
}
/**
* 判断包含元素
* @param e 元素
* @return
*/
public boolean contains(E e) {
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (data[i].equals(e)) {
return true;
}
}
return false;
}
/**
* 查找元素索引
* @param e 元素
* @return 返回元素索引，如果不存在则返回-1
*/
public int find(E e) {
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (data[i].equals(e)) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 移除指定索引的元素
* @param index 索引
* @return 返回被移除的元素
*/
public E remove(int index) {
if (index < 0 || index >= size) {
throw new IllegalArgumentException("get failed. index is illegal");
}
E ret = data[index];
for (int i = index + 1; i < size; i++) {
data[i - 1] = data[i];
}
size--;
data[size] = null;
//空间利用率低，数组缩容，防止复杂度震荡
if (size == data.length / 4 && data.length / 2 != 0) {
resize(data.length / 2);
}
return ret;
}
/**
* 移除第一个元素
* @return 返回被移除元素
*/
public E removeFirst() {
return remove(0);
}
/**
* 移除最后一个元素
* @return 返回被移除元素
*/
public E removeLast() {
return remove(size - 1);
}
/**
* 移除数组中一个元素
* @param e 元素
*/
public void removeElement(E e) {
int index = find(e);
if (index != -1) {
remove(index);
}
}
/**
* 数组容器扩容、缩容
* @param newCapacity 新的容量
*/
private void resize(int newCapacity) {
E[] newData = (E[]) new Object[newCapacity];
for (int i = 0; i < size; i++) {
newData[i] = data[i];
}
data = newData;
}
/**
* 交换数组中两个索引对应的元素
* @param i 元素
* @param j 元素
*/
public void swap(int i, int j) {
if (i < 0 || i >= size || j < 0 || j >= size) {
throw new IllegalArgumentException("index is illegal");
}
E e = data[i];
data[i] = data[j];
data[j] = e;
}
@Override
public String toString() {
StringBuilder res = new StringBuilder();
res.append(String.format("Array: size = %d, capacity = %d\n", size, data.length));
res.append("[");
for (int i = 0; i < size; i++) {
res.append(data[i]);
if (i != size - 1) {
res.append(", ");
}
}
res.append("]");
return res.toString();
}
}2. 基于动态数组实现最大堆
/**
* 基于动态数组实现最大堆
* @param <E>
*/
public class MaxHeap<E extends Comparable<E>> {
private Array<E> data;
public MaxHeap(int capacity) {
data = new Array<>(capacity);
}
public MaxHeap() {
data = new Array<>();
}
/**
* 普通数组堆化
* @param arr
*/
public MaxHeap(E[] arr) {
data = new Array<>(arr);
//从第一个非叶子节点（叶子节点无需下沉操作）开始遍历，并且执行下沉操作，完成堆化
for (int i = parent(arr.length - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
/**
* 获取堆中元素个数
* @return
*/
public int size() {
return data.getSize();
}
/**
* 判断堆中是否为空
* @return
*/
public boolean isEmpty() {
return data.isEmpty();
}
/**
* 返回二叉堆的数组表示中，一个索引所表示的元素的父亲节点的索引
* @param index 节点在数组中的索引
* @return
*/
private int parent(int index) {
if (index == 0) {
throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent");
}
return (index - 1) / 2;
}
/**
* 返回二叉堆的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
* @param index 节点在数组中的索引
* @return
*/
private int leftChild(int index) {
return index * 2 + 1;
}
/**
* 返回二叉堆的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
* @param index 节点在数组中的索引
* @return
*/
private int rightChild(int index) {
return index * 2 + 2;
}
/**
* 向堆中添加元素
* @param e 待添加元素
*/
public void add(E e) {
data.addLast(e);
siftUp(data.getSize() - 1);
}
/**
* 堆中元素上浮
* @param k 元素索引
*/
private void siftUp(int k) {
//当前节点的元素比父亲节点的元素大则上浮
while (k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0) {
//交换数组中的元素
data.swap(k, parent(k));
k = parent(k);
}
}
/**
* 查询堆中最大元素
* @return
*/
public E findMax() {
if (data.getSize() == 0) {
throw new IllegalArgumentException("can not finMax when heap is empty");
}
return data.get(0);
}
/**
* 取出堆中最大元素
* @return
*/
public E extractMax() {
E max = findMax();
//交换堆中最大的元素与堆尾元素
data.swap(0, data.getSize() - 1);
//删除堆尾元素
data.removeLast();
//元素下沉
siftDown(0);
return max;
}
/**
* 堆中元素下沉
* @param k 元素索引
*/
private void siftDown(int k) {
//只要该元素的左孩子索引没有越界，继续处理
while (leftChild(k) < data.getSize()) {
int j = leftChild(k);
if (j + 1 < data.getSize() && data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0) {
j = rightChild(k);
}
//data[j] 是leftChild 和 rightChild中的最大值
if (data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0) {
break;
}
//下沉
data.swap(k, j);
k = j;
}
}
/**
* 取出堆中的最大元素，并且替换成元素e
* @param e 待替换元素
* @return 堆中最大元素
*/
public E replace(E e) {
E max = findMax();
//覆盖最大元素
data.set(0, e);
//被元素可能破坏了堆的结构，触发下沉操作
siftDown(0);
return max;
}
}四、堆的应用场景
(一) 优先队列：
- 堆是优先队列的天然实现，支持高效插入和删除最高优先级元素。
- 例如：任务调度、Dijkstra算法中的最短路径选择。
(二) Top-K问题：
- 维护一个大小为K的最小堆（求前K大）或最大堆（求前K小），快速找到极值。
- 例如：统计日志中的Top 100高频词。
(三) 中位数与百分位数：
- 使用两个堆（最大堆和最小堆）动态维护数据流的中位数或特定百分位值。
(四) 合并有序文件：
- 将多个有序小文件的头部元素插入最小堆，依次提取最小值合并到结果文件。
五、堆与其他数据结构的对比
| 特性 | 堆 | 二叉搜索树（BST） | 平衡二叉搜索树（如AVL树） |
| 有序性 | 仅保证堆序性（父子关系） | 中序遍历有序 | 完全有序 |
| 插入/删除 |
| 平均 |
|
| 查找 | 不支持高效查找 |
|
|
| 适用场景 | 优先队列、堆排序 | 需要频繁查找的场景 | 需要高效查找、插入、删除的场景 |
六、堆的变种与扩展
- 斐波那契堆：支持更高效的合并操作（均摊
O(1)），常用于动态图算法（如Prim算法）。 - 左偏树：具有高效的合并性能，适用于需要频繁合并堆的场景。
七、总结
堆是一种高效的树形数据结构，通过完全二叉树和数组的结合，实现了插入、删除和建堆等操作的高效性。其核心思想是通过“上浮”和“下沉”操作维护堆序性，适用于需要快速访问最大值或最小值的场景。理解堆的实现和操作是掌握高级算法（如堆排序、Dijkstra算法）的基础，也是解决大规模数据问题的关键工具。
