计算机中的数据存储与运算
输出地址后看不懂格式，为什么？
第一节：进制转换基础
✅ 常见进制：
- 十进制（Decimal）：日常使用的 0~9
- 二进制（Binary）：计算机底层使用，仅有 0 和 1
- 八进制（Octal）：0~7，早期用于嵌入式
- 十六进制（Hex）：09A~F（代表 0~15），常用于表示地址，为二进制的缩写等
✅ 为什么使用十六进制表示二进制？
- 二进制太长不直观，容易出错
- 1 个十六进制位 = 4 个二进制位（更简洁）
- 举例：
11111111 11111111可以写成0xFFFF - 程序员常用
0x开头表示十六进制，方便调试与内存分析
✅ 转换示例：
| 十进制 | 二进制 | 十六进制 |
|---|---|---|
| 10 | 1010 | 0xA |
| 255 | 11111111 | 0xFF |
| 16 | 10000 | 0x10 |
第二节：数据存储方式
✅ 什么是“位数”？
-
位（bit）：计算机的最小单位，0 或 1
-
32 位系统：一个寄存器/地址一次最多处理 32 位数据，11111111 11111111 11111111 11111111 ，0xFFFFFFFF
-
64 位系统：一次最多处理 64 位数据，以上例子的两倍
-
位数决定：寻址能力、运算精度、可用内存（每个地址能存一个字节的内容）等
✅ 什么是“字节”？
- 一字节等于8位，2^8，能存2的8次方大小的数据
✅ 常见存储范围
| 8 位 | 2⁸ = 256 | 256 个值 | 0 ~ 255 或 -128 ~ 127 |
|---|---|---|---|
| 32 位 | 2³² ≈ 42 亿 | 42 亿个值 | 0 ~ 4294967295 或 -2147483648 ~ 2147483647 |
16位 65536 -32768~32767
✅ 整型存储：
-
占用固定字节数（如
int通常 4 字节 = 32 位） -
按照补码方式存储（后面详细讲）
-
二进制按位存储，例如：
int a = 5; // 实际存储：00000000 00000000 00000000 00000101 32位系统下地址：0x00 00 00 05 64位同理
✅ 浮点型存储：（极为复杂不做了解）
- 拆成三部分：符号位 + 指数位 + 尾数位（有效数字）
- 单精度（float）：32 位 = 1 + 8 + 23
- 双精度（double）：64 位 = 1 + 11 + 52
✅ 单精度 vs 双精度区别：（只需要知道是双倍精度，存储空间是双倍就行了）
| 属性 | float（单精度） | double（双精度） |
|---|---|---|
| 位数 | 32 位 | 64 位 |
| 精度 | 约 7 位十进制 | 约 15 位十进制 |
| 范围 | ±3.4e38 | ±1.8e308 |
| 占用内存 | 4 字节 | 8 字节 |
✅ 最通俗的一句话总结：（也不用学）
在浮点数中：
- 尾数位 决定 “是什么数” （有效数字）
- 指数位 决定 “它放在哪个大小范围” （缩放倍数）
字符型存储与 ASCII
✅ 字符 = 整数
- 在底层，
char类型是 1 字节整数 - 字符用整数存储，那么为什么知道是字符呢？对应表格
- 字符
'A'实际存储值为 65，对应 ASCII 编码表，0100 0001，0x41
✅ ASCII 表示例：
| 字符 | 十进制 | 二进制 |
|---|---|---|
'A' | 65 | 01000001 |
'a' | 97 | 01100001 |
'0' | 48 | 00110000 |
✅ 为什么A和a差了32？
0x20
只需要记住大写A是65就记住全部
✅ 演示代码：
char c = 'A';
cout << (int)c << endl; // 输出 65
cout << (int)(c + 0x20) << endl;
cout << (c += 0x20) << endl;
cout << (c -= 0x20) << endl;
✅ 说明：字符本质上就是整数，赋值/比较时可作为数值使用。
ASCII码不过一个字节大小范围，0~255，如何记得下全世界数百上千万的符号？
不同的语言体系有不同的编码版本，
✅ 扩展：其他编码（中文/Unicode）
| 编码方式 | 特点 | 示例（字符“你”） |
|---|---|---|
| ASCII | 单字节，只支持英文 | 不支持 |
| GB2312/GBK | 汉字双字节编码 | 0xC4E3 |
| UTF-8 | 可变长度编码，全球通用 | 0xE4 0xBD 0xA0（3 字节） |
| Unicode/UTF-16 | 固定宽度（2 字节） | 0x4F60 |
| 十六进制序列 | Windows-1252 | GBK | UTF-8 |
|---|---|---|---|
| 0xBDB2 | ½ (分数 1⁄2) | 汉字 “貢” | 非法² |
✅ 总结
- 数据在内存中以 二进制补码 的形式存储
- 字符、整数、浮点数都有不同的存储结构
- 编码方式影响符号处理，补码是主流方式
- ASCII 编码将字符与整数绑定，字符可以看作数
- 二进制运算是低级优化与嵌入式开发的基础
- UTF-8/Unicode 等是现代字符集标准，支持多语言
- 计算机内存是一个大快递仓库，每个字节有唯一编号（地址）
- 数据在内存中必须分配“空间”（多少字节）
- 不同类型变量占用空间不同，越大越精确，但浪费空间
第三节：编码方式（原码、反码、补码）
（为何要用补码，原理较为复杂，不要求掌握，只要求掌握计算补码）
计算机中负数存的不是原码，而是补码，便于计算机运算，（为什么）
✅ 有符号数(负数)：
- 最高位为符号位：0 代表正，1代表负，以四位数据的原码举例，1为0001，-1为1001
- 正数用原码存储，讨论补码时，都是讨论负数
✅ 编码定义：
| 编码方式 | 定义 |
|---|---|
| 原码 | 符号位 + 绝对值(除去符号的值) |
| 反码 | 原码除符号位外取反 |
| 补码 | 反码 + 1 |
总结就是，补码就是正数原码取反+1
-5的补码计算 -> 抛开第一位符号位 -> 5的二进制原码 -> 0101 -> 取反 -> 1010 -> +1 -> 1011
5的原码是0101，-5的补码为1011
✅ 原因、原理：
芯片底层进行加减法运算的时候，只使用加法模块，单独设计减法模块太复杂，那么减法用加法模块替代，如何替代？
以四位长度数据计算举例：5 - 1 = 5 + (2^4 - 1) - 2^4
1.此处2^4是一个4位长度的数据的最大范围 + 1
二进制表示为：0101 + （10000 - 0001）- 10000 = 0101 + 1111 - 10000
2.此处的1111也就是（10000 - 0001）的计算结果，但其实1111是0001取反+1的结果，而非真正执行了减法，意思就是用取反模块和加法模块在此处模拟出了减法模块，但此处还没有结束，我们继续计算，10100 - 10000，这一步又要如何减去呢？
3.前面提到过，这是一个4位长度的数据，所以会自动把最高的那一位给丢弃，也就达成了减去最高位的1的效果，最后的结果也就是0100也就是4，5 - 1 = 4，就完成了，全程没有使用减法模块
4.这便是计算补码的原因以及原理，所以负数都以补码的形式存储，运算的时候使用的是加法模块，原码和补码也就是通过取反+1互相转换，1的原码为0001，补码为1111，（10000 - 0001） = 1111，（10000 - 1111） = 0001
✅ 示例：以 8 位为例，表示 -5：
| 编码方式 | 二进制表达 |
|---|---|
| 原码 | 10000101 |
| 反码 | 11111010 |
| 补码 | 11111011 ✅ |
✅ 无符号数 unsigned 前缀 unsigned int 无符号整型 unsigned double 无符号浮点型
- 全部位用于表示数值，不能表示负数
- 例如 8 位无符号最大值为 255，0 ~ 255， 二进制 0000 0000 ~ 1111 1111
- 带符号最大值为 127，最小为-128，也就是 0 ~ 127，-1 ~ -128
- 二进制 0000 0000 ~ 0111 1111， 原码1000 0001 ~ 1111 1111，补码 1111 1111 ~ 1000 0001
第四节：二进制运算基础
✅ 常见运算符：
| 运算符 | 含义 | 示例（a = 5, b = 3）a = 0101, b = 0011 |
|---|---|---|
& | 按位与 | a & b = 1 |
| | | 按位或 | a | b = 7 |
^ | 按位异或 | a ^ b = 6 |
~ | 取反 | ~a = -6 |
<< | 左移 | a << 1 = 10 |
>> | 右移 | a >> 1 = 2 |
✅ 十进制类比：
| 运算符 | 类似什么 | 示例 |
|---|---|---|
& | 相当于“都满足” | 0101 & 0011 = 0001 |
| | | 相当于“至少一个满足” | 0101 | 0011 = 0111 |
^ | 相当于“不同为真” | 0101 ^ 0011 = 0110 |
~ | 相当于“取反” | ~00000101 = 11111010 |
<< | 乘 2^n | 101 << 1 = 1010 |
>> | 除 2^n | 101 >> 1 = 2 |
✅ 运算例题：
7 & 3 = 0111 & 0011 = 0011 = 34 | 2 = 0100 | 0010 = 0110 = 65 ^ 1 = 0101 ^ 0001 = 0100 = 4~1 = 11111110（此处取反后为补码，补码无法一眼看出大小，通过反码+1还原成原码，可以看出实际大小）2 << 2 = 8，8 >> 1 = 4
✅ 位运算和普通数学运算之间的关系概览
| 位运算符 | 数学意义 | 示例 | 对应数学操作 |
|---|---|---|---|
<< n | 左移 n 位 | a << n = a × 2ⁿ | 快速乘法（×2ⁿ） |
>> n | 右移 n 位 | a >> n = a ÷ 2ⁿ（整数除法） | 快速除法（÷2ⁿ，舍去余数） |
^ | 按位异或（相同为0） | a ^ b | 二进制的“无进位加法” |
~ | 按位取反 | ~a | 与 -a - 1 等价 |
✅ 一、<< 左移：等于乘以 2 的 n 次方
a << n ≡ a × 2ⁿ
示例：
3 << 2 = 3 × 4 = 12
二进制表示：
3 = 00000011
左移 2 位 → 00001100 = 12
✅ 二、>> 右移：等于除以 2 的 n 次方（向下取整）
a >> n ≡ a ÷ 2ⁿ（向下取整）
示例：
19 >> 2 = 19 ÷ 4 = 4 （舍去余数）
✅ 三、^ 按位异或：相同为 0，不同为 1（无进位加法）
a = 1101
b = 1011
→ a ^ b = 0110 此处第一位和第四位没有进位
🔁 **异或的一大作用：**用于交换两个数
a ^ a = 0
a ^ 0 = a
常用于：
- 交换两个数不用临时变量：(原理，能理解最好，但并不常用到，可以自己推一遍)
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
a = 1101
b = 1011
a ^= b; a 1101 b 1011 -> a 0110
b ^= a; a 0110 b 1011 -> b 1101
a ^= b; a 0110 b 1101 -> a 1011
A 1101
B 1011
C 0110
标记计算法：C就是A和B异或计算得出的标记位，每一位的0或1都是一个标记
不同为0，相同为1，与0异或维持不变，与1异或反转自身
C第一、四位的0表示，AB的第一、四位相同，无论是1还是0，异或运算0以后还是自身
C第二、三位的1表示，AB的第二、三位不同，无论是1还是0，异或运算1以后都要反转，因为位不同，反转之后只能是对方的位
🧠 建议：手动练习补码运算、位操作、小型进制转换程序，有助于理解底层原理。
