一、什么是元胞自动机（Cellular Automata, CA）

元胞自动机（CA） 是一种基于离散时间、离散空间与规则驱动演化的动力系统，由 冯·诺依曼（John von Neumann） 于1940年代首次提出，用于模拟生物自我复制行为。

其基本思想是：

系统中每个元胞（cell）根据自身状态与邻域状态，依据某一组固定规则，在每一轮迭代中更新自己的状态，整个系统因此展现出复杂的宏观格局演化特征。

📚 经典定义（Wolfram, 1983）：

A cellular automaton is a discrete model consisting of a regular grid of cells, each in one of a finite number of states, updated in discrete time steps according to a local rule. 

二、元胞自动机模型的基本结构

元胞自动机系统通常包含以下 4 个核心组成部分：

要素	描述
空间结构	通常为规则格网（二维栅格），也可以扩展到六边形或三维空间
状态集合	每个格子（cell）拥有一个状态（如 0/1 表示是否建成，或土地类型编码）
邻域结构	描述某个元胞周围哪些格子参与演化（如摩尔邻域 8 邻、冯·诺依曼邻域 4 邻）
转移规则	一个映射函数：当前状态 + 邻域状态 → 下一状态，可能是确定的也可能是概率的

三、CA 在地理模拟中的引入

在地理学中，**Batty 和 Xie（1994）**首次将 CA 模型系统性地应用于城市增长模拟。他们指出：

“Urban systems are dynamic and complex, but CA provides a simple and intuitive structure to simulate their evolution.”
—— Batty & Xie (1994), Environment and Planning B

四、元胞自动机概述

1．元胞自动机的基本组成
元胞自动机的数学模型由以下核心组件构成：

网格（Grid）：

元胞自动机定义在一个离散的网格上，通常是一维（线形）、二维（平面）或更高维的网格。每个网格点称为一个元胞（cell）。

数学上，网格可以表示为整数坐标集，例如一维网格为 Z ，二维网格为 Z2 。

每个元胞有一个有限的状态集 S ，例如二元状态 S={0,1}（如＂开＂或＂关＂）或多状态（如气温范围）。

状态（State）：

每个元胞在时间 t 具有一个状态 si(t)∈S ，其中 i 表示元胞的位置。

整个网格的状态称为配置（configuration），用函数 C(t):Zd→S 表示，其中 d 是网格维度。

邻居（Neighborhood）：

每个元胞的下一状态取决于其自身及其邻居的状态。邻居的定义依赖于网格类型和规则，例如：

一维：常用邻居包括左右相邻元胞（Von Neumann 邻域）或更广的范围。

二维：常见邻居包括 Von Neumann 邻域（上下左右4个元胞）或 Moore 邻域（包括对角线共 8个元胞）。

数学上，邻域可以定义为一个元胞的索引集 Ni ，表示影响元胞 i 的邻居集合。

转移规则（Transition Rule）：

转移规则是一个函数 f:S|N|→S ，决定元胞在下一时间步的状态。

对于元胞 i ，其状态更新公式为：

si(t+1)=fsj1(t),sj2(t),…,sj∣N(t),

其中 j1,j2,…,j|N|∈Ni 是邻居索引。

• 时间演化：
• 时间是离散的，记为 t=0,1,2,… 。在每个时间步，所有元胞根据转移规则同步更新状态，形成新的配置 C(t+1) 。
  －全局演化可以看作一个映射 F:SZd→SZd ，将当前配置映射到下一配置。
  2．数学原理
  元胞自动机的数学原理可以从以下几个方面分析：
  （1）离散动力系统
  －元胞自动机是一个离散时间、离散空间的动力系统。全局配置空间 SZd 是一个无限维的状态空间，转移规则 F 定义了一个确定性映射。
  －数学上，元胞自动机的演化可以表示为：

C(t+1)=F(C(t))

－这种迭代映射可以生成复杂的动态行为，包括固定点、周期循环、混沌等。
（2）局部性与全局性
－元胞自动机的核心数学特性是局部规则生成全局行为。尽管转移规则 f 仅依赖于局部邻居状态，但通过同步更新，整个系统可以表现出复杂的模式，如自组织、涌现现象等。
－例如，在一维元胞自动机中，规则可以定义为：

si(t+1)=fsi-1(t),si(t),si+1(t)

对于二元状态 S={0,1} ，可能的规则数为 223=256（如著名的 Wolfram 规则编号）。

（3）规则的数学表达
－转移规则 f 通常是确定性的，但可以是任意函数。例如，在 Conway 的生命游戏（二维元胞自动机）中，状态 S={0,1} ，规则为：

• 存活（1）：若一个元胞为 1，且其 Moore 邻域中有 2 或 3 个活元胞，则下一时刻仍为 1。
• 死亡（ 0 ）：若活元胞邻居少于 2 （孤立）或多于 3 （过挤），则变为 0 。
• 出生（1）：若死元胞（0）有正好 3 个活邻居，则变为 1。
• 数学表达为：

si(t+1)=1 if si(t)=1 and j∈Ni  sj(t)∈{2,3}1 if si(t)=0 and j∈Ni  sj(t)=30 otherwise 

（4）不变性与对称性

• 元胞自动机的规则通常具有空间平移不变性，即规则 f 在网格上对所有元胞一致应用。
• 某些规则还具有时间对称性或可逆性，即存在反向规则使得系统可回溯（常见于物理模拟）。
• 数学上，平移不变性意味着对于任意平移变换 τ ，有 F(τ(C))=τ(F(C)) ，其中 τ 是网格上的平移运算。
  （5）计算复杂性
  －元胞自动机与计算理论密切相关。某些元胞自动机（如 Wolfram 的 Rule 110）被证明是图灵完备的，即它们可以模拟通用图灵机，执行任意计算。
  －数学上，配置空间 SZd 是一个 Cantor 集，转移规则 F 是一个连续映射（在适当的拓扑下）。复杂行为的涌现可以通过熵或李雅普诺夫指数等量来分析。

五、典型模型扩展与集成方法

1. CA-Markov 模型
   将 CA 与马尔科夫链结合，预测未来土地状态转移概率 + 空间演化

📖 Eastman, 2006. IDRISI Manual.

1. SLEUTH 城市扩张模型
   集成了 Slope、Landuse、Exclusion、Urban、Transportation、Hillshade 六因子

📖 Clarke et al., 1997. “A self-modifying cellular automaton model of historical urbanization...”

1. CA-RF / CA-ANN
   将机器学习（随机森林、神经网络）与 CA 融合，自动学习转移概率，提高预测精度

📖 Zhang et al., 2018. “Integrating cellular automata and random forest...”

📉 六、元胞自动机的优点与局限性

✅ 优点：

模型结构简单，计算高效，逻辑直观

与遥感栅格、GIS 空间数据天然兼容

可模拟空间自组织、扩散与边界演化

❌ 局限性：

传统规则往往静态，缺乏学习与适应性

难以建模非局域过程（如政策驱动）

参数敏感，依赖专家经验或反复校准

📌 七、研究趋势与发展方向

📈 智能 CA：与机器学习融合（CA-RF, CA-ANN）自动学习规则

🔗 多主体模型集成：模拟居民、开发商行为（CA + ABM）

🌐 多尺度建模：宏观土地转移 + 微观邻域演化

🛰 GEE + CA 集成：基于大尺度遥感数据动态建模（MODIS + CA）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置参数
size = 50            # 网格大小 50x50
steps = 20           # 模拟步数
threshold = 3        # 至少有多少城市邻居才能考虑转化
probability = 0.6    # 转化为城市的概率

# 初始化格网
grid = np.zeros((size, size), dtype=int)
# 初始化种子城市（中心点）
grid[size//2, size//2] = 1

# 8邻域方向（Moore 邻域）
neighbors = [(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1),
             (0, -1),          (0, 1),
             (1, -1),  (1, 0), (1, 1)]

# 演化函数
def update(grid):
    new_grid = grid.copy()
    for i in range(1, size-1):
        for j in range(1, size-1):
            if grid[i, j] == 0:
                count = sum(grid[i+dx, j+dy] for dx, dy in neighbors)
                if count >= threshold and np.random.rand() < probability:
                    new_grid[i, j] = 1
    return new_grid

# 逐步模拟
for step in range(steps):
    plt.imshow(grid, cmap='Greys')
    plt.title(f'Step {step}')
    plt.pause(0.3)  # 暂停显示
    grid = update(grid)

plt.show()