今天我们来看一个很经典的回归模型：泊松分布。
泊松分布
我们一般会把泊松分布用于预测问题，比如想知道成年人每天接到的骚扰电话次数，医院每天的急诊病人等。但在一些方面，跟我们想的会有出入。例如你不能将其应用在预测下周你的体重会是多少，看起来同是预测问题，但其背后隐含了数据的关系。
在预测每天接到的骚扰电话次数事件时，昨天接到的电话次数，跟今天的是没有关系的，急诊病人数量也一样，但如果是预测下周一个人的体重，那么其实会发现，下周的体重会跟下周前一天1有关系，在一个特定的区间内浮动，类似的，也就能推导到一周前。当然，如果要把泊松分布应用在预测急诊病人的数量，那么就需要特殊的前置条件，比如最近爆发了传染性较强的病毒，所以急诊病人数量会在一段时间内维持在一个比较高的数值。
所以，使用泊松分布的关键就在于，判断每个数据点之间是否有联系，从概率学上来讲，就是每一个数据点，都代表了一次独立概率事件，他们之间是互不影响的，只要满足这种特点，就能运用泊松分布，当然也不要忽略一些数值条件（比如泊松分布要求Y是整数），你不能说预测班里身高超过1米8的人有10.5个吧。
下面我们用一段实例来说明：
library(tidyverse)
library(ggplot2)
set.seed(123) # 固定随机种子，确保结果可复现
n <- 500 # 样本量
# 生成自变量：天气质量（weather，0~10）和是否促销（promotion，0/1）
weather <- runif(n, min = 0, max = 10)
promotion <- rbinom(n, size = 1, prob = 0.3) # 30%的日期有促销
# 生成因变量：每日冰淇淋销量（sales），使用泊松分布
true_beta <- c(1.5, 0.2, 0.8) # 真实系数：截距、weather、promotion
log_lambda <- true_beta[1] + true_beta[2] * weather + true_beta[3] * promotion
sales <- rpois(n, lambda = exp(log_lambda)) # 生成泊松分布的计数数据
# 构建数据框
df <- data.frame(sales, weather, promotion)
# 使用 glm() 拟合泊松回归模型
model <- glm(sales ~ weather + promotion,
family = poisson(link = "log"), # 指定泊松分布和对数链接
data = df)
# 查看模型摘要
summary(model)
# 新数据预测
new_data <- data.frame(
weather = c(8, 3), # 天气8分 vs 3分
promotion = c(1, 0) # 有促销 vs 无促销
)
# 预测销量
pred_sales <- predict(model, newdata = new_data, type = "response")
pred_sales # 输出预测值
# 检查是否过离散（Overdispersion）
library(AER)
dispersiontest(model)
# 天气 vs 销量（按促销分组）
ggplot(df, aes(x = weather, y = sales, color = factor(promotion))) +
geom_point(alpha = 0.6) +
geom_smooth(method = "glm", method.args = list(family = poisson), se = FALSE) +
labs(
title = "天气和促销对冰淇淋销量的影响",
x = "天气评分", y = "销量",
color = "促销（1=是）"
) +
theme_minimal()输出：
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 1.508115 0.028471 52.97 <2e-16 ***
weather 0.200169 0.003801 52.66 <2e-16 ***
promotion 0.787791 0.020243 38.92 <2e-16 ***
1 2
49.267146 8.236879 
从输出中我们可以得知，当天气达到8分且有促销时，预测的销量为49.2；若天气只有3分且没有促销时，预测的销量为8.2。而且我们能观察到天气和促销的P值小于0.05，这说明这两个变量都对销量有很大的影响。
