一、不定积分
定理：如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即一定存在区间I上的可导函数F(x)，使得F'(x)=f(x) ，x∈I
简单地说：连续函数必有原函数。
极限lim*0->x {[∫*0^x sin(t^2)dt]/x^3}=1/3
变上限积分∫*π/2^x (sint/t)'dt=(sinx)/x-π/2
注：（1）若等式两边函数相等(自变量都是x)，则等号两边同时求不定积分，等号仍成立。
例：
（2）积分是逆转求导：∫(dy/dx) dx=y
二、定积分
(1)可积的两个充分条件：
定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，并且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
如不作特别的说明，往后总假定所讨论的定积分是存在的。
(2)定积分的基本性质
（3）定积分的换元法与分部积分法
a.换元法
该定理告诉我们：在一定条件下，dx可以作为微分记号来对待，即应用换元公式(1)时，如果将积分变量x换为φ(x)，则dx就换成φ'(t)dt，这正好是函数x=φ(t)的微分
注：
1)换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用x=φ(t)把原来的变量换成了新变量t，积分限也必须换成新变量t的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，原来上限对应的参数做上限。
2)不要求x=φ(t)单调，从而其反函数也可以不存在。
b.分部积分法
例1：
1/3y^3*e^(-y^2)求原函数？
例2：
-2∫*0^2π asin2a da=acos2a |*0^2π-∫*0^2π cos2a da
三、微积分基本公式
(1)变上限积分
变上限积分求导证明？？
(2)微积分学基本公式(牛莱公式)：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则∫*a^b f(x)dx=F(b)-F(a).
证明：由已知及2中的定理，函数F(x)和Φ(x)=∫*a^x f(t)dt都是函数f(x)在区间[a,b]上的原函数，从而F(x)-Φ(x)=C(x∈[a,b]),其中C为一个常数。
令x=a得F(a)-Φ(a)=C.又由于Φ(a)=0,所以C=F(a)，代入上式得Φ(x)=F(x)-F(a)(x∈[a,b]),即∫*a^x f(t)dt=F(x)-F(a)(x∈[a,b]).特别地，当x=b时，即有∫*a^b f(x)dx=F(b)-F(a).
该公式又可以写成：
这个公式告诉我们：要计算连续函数f(x)的定积分
，只需先求出f(x)的任何一个原函数F(x)，然后将F(x)在积分上限的值减去F(x)在积分下限的值即可。
四、求定积分
1）∫*0^π/2 (sinx)^2cosxdx=∫0^π/2 (sinx)^2dsinx=1/3(sinx)^3 |0^π/2=1/3
2）∫*0^1/2 dx/[√x(1-x)]=∫*0^1/2 [1/√(1-x)*]·1/√xdx=2∫*0^1/2 d(√x)/[1-(√x)^2]=2arcsin(√x) |*0^1/2=2arcsin(√2/2)=π/2
五、二重积分
(1)二重积分的性质：
例1:
例2:
利用二重积分计算下面图形的面积：由抛物线y^=2x与直线y=x-4所围成的平面图形。
解：
解方程组得到抛物线y^=2x与直线y=x-4的两个交点为(2,-2)，(8,4)
先对x、后对y积分：
被积区域：-2
平面图形的面积：∫∫1dxdy=∫*-2^4 dy∫*(y^2)/2^(y+4) dx=∫*-2^4 [(y+4)-(y^2)/2]dy=18
当被积函数f(x,y)=1时，计算二重积分就相当于计算被积区域的面积
(2)极坐标
一般来说，当积分区域D为圆形、扇形、或环形闭区域时，而被积函数含有x^2+y^2或者arctan(y/x)等式子时，用极坐标计算二重积分往往比较简单。
注：[(sina)^3]'=1/3[cosa)^3]-cosa
结论：(1)∫0->+∞* e^[-x^2]dx=(√π)/2
(2)∫-∞->+∞* e^[-x^2]dx=√π
六、三重积分
(1)对称奇偶性
(2)三重积分的计算
（3）[d(e^-∫P(x)dx)]/dx=-P(x)e^-∫P(x)dx
