机器学习 day04

news2025/5/18 16:32:26

文章目录

前言
一、线性回归的基本概念
二、损失函数
三、最小二乘法

前言

通过今天的学习，我掌握了机器学习中的线性回归的相关基本概念，包括损失函数的概念，最小二乘法的理论与算法实现。

一、线性回归的基本概念

要理解什么是线性回归，就要先理解什么是回归。

回归是通过训练带标签的样本数据得到模型参数，对连续型数据进行预测。

像这样的式子： $y = w x + b$ 就是一个线性回归模型，在实际的应用场景中往往不能找到某一个方程满足所有特征，这时我们就需要使用计算机根据实际的数据求解得到最优（也就是最接近真实值）的方程式作为模型完成预测任务。

例如，如果我们将数据描绘在坐标轴上：
在这里插入图片描述
线性回归的任务就是找到一条最佳直线拟合所有点。

二、损失函数

我们想通过线性回归，找到一条最优的直线拟合所有数据，有许多方式确定这条最优直线，这里我们使用损失函数进行评估。

对于线性回归而言，我们使用均方误差作为损失函数，即实际数据点数据到拟合直线的竖直距离的平方再求和。用公式可以表达为：
$\bar e = \frac{1}{n} \textstyle\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-w x_{i} - b)^{2}$
其中，每一个w值都会对应一个loss，我们要求的即是使得loss最小时的w值。

如果只有单个特征参数w，我们可以使用以前学习过的数学方法，如韦达定理，求导等直接解出；但如果有多个w值，我们就需要使用最小二乘法和梯度下降的思想进行求解了。

要推导接下来的最小二乘法和梯度下降，需要结合矩阵求导和矩阵除法的公式：
在这里插入图片描述

三、最小二乘法

假设一共有多个特征，即组成损失函数的是一个多元二次方程，即：
$h(x)=w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3+w_4x_4+w_5x_5+w_6x_6+w_7x_7+w_8x_8+w_0x_0$

$loss=[(h_1(x)-y_1)^2+(h_2(x)-y_2)^2+...(h_n(x)-y_n)^2]/n\\=\frac{1}{n} \textstyle\sum_{i=1}^{n}(h(x_{i})-y_{i})^{2}\\=\frac{1}{n}||(XW-y)||^2\\=\frac{1}{2}||(XW-y)||^2 这就是最小二乘法公式 \\ ||A||^2 是欧几里得范数的平方\,也就是每个元素的平方相加$

由于我们是研究使得loss最小时的w值而非关心loss具体的值，所以我们将n改为2，这可以便于后续求导运算。

接下来，我们对loss的矩阵形式进行化简和求导（此处不再赘述），最终可以得到最后可以得到w值组成的矩阵W：
$W=(X^TX)^{-1}X^Ty$
通过以上的式子，我们可以精确地求出每一个w值，我们将这种方法称为最小二乘法。

API用法：sklearn.linear_model.LinearRegression()

该函数返回模型的参数和偏置项，即coef_，intercept_

# 线性回归(最小二乘法)
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as np
data=np.array([[0,14,8,0,5,-2,9,-3,399],
               [-4,10,6,4,-14,-2,-14,8,-144],
               [-1,-6,5,-12,3,-3,2,-2,30],
               [5,-2,3,10,5,11,4,-8,126],
               [-15,-15,-8,-15,7,-4,-12,2,-395],
               [11,-10,-2,4,3,-9,-6,7,-87],
               [-14,0,4,-3,5,10,13,7,422],
               [-3,-7,-2,-8,0,-6,-5,-9,-309]])
x,y = data[:,:-1],data[:,-1]

model = LinearRegression(fit_intercept=True) # 可指定偏置项
model.fit(x,y)

x_new=[[0,14,8,0,5,-2,9,-3]]
w = model.coef_
b = model.intercept_
# y_pred = model.predict(x_new)
# y_pred = w@x_new.T + b
y_pred = np.sum(w*x_new) + b
print(y_pred)