初等数论--欧拉定理及证明

news2025/5/11 11:54:34

0. 证明前置知识

同余类（剩余类）
$\overline{r_n} = \{ x| x=mn+r,m \in Z\}$

$\overline{r_n}$ 表示模 $n$ 后余 $r$ 的同余类（剩余类）

比如
$\overline{2_5} = \{\cdots, -3,2,7,12,\cdots\}$

我们从 $\overline{0_n}\ \overline{1_n}\ \overline{2_n}\cdots \overline{{n-1}_n}$ 中各挑选一个数，就组成了模 $n$ 的完全剩余系（简称完系）。

记作
$R_n=\{ r_0,r_1,\cdots,r_{n-1}\}\\ r_0 \in \overline{0_{n}},\cdots,r_{n-1}\in \overline{{n-1}_n}$

$R_n$ 被叫做 $n$ 的一个完全剩余系。

如果 $R_n=\{ 0,1,2,\cdots,n-1\}$ , 那么称 $R_n$ 为模 $n$ 的最小非负完全剩

余系。

比如 $R_4=\{\ 0,1,2,3\}$

取模 $n$ 的一个完全剩余系 $R_n$ , 在 $R_n$ 中取出与 $n$ 互质的数，组成的新的集合，叫做模 $n$ 的缩剩余系（简称缩系），记为 $\Phi_n$ 。

比如
$R_4 =\{ 4,-3,6,3\}\\ \Phi_4 =\{ -3,3\}$

如果 $\Phi_n=\{ c_1,c_2,\cdots,c_{\phi(n)}\}$ 满足 $1\le c_1,c_2,\cdots,c_{\phi(n)} \le n-1$ ,

那么称 $\Phi_n$ 为最小正缩剩余系。

1. 欧拉定理

若 $\gcd(a,n) =1$ , 那么
$a^{\phi(n)} \equiv1\quad(\ \bmod\ n)$

2. 证明

我们令 $\Phi_n$ 为模 $n$ 的最小正缩系
$\Phi_n=\{ c_1,c_2,\cdots,c_{\phi(n)}\}$
我们将 $\Phi_n$ 中每个元素同时乘上 $a$ ，得到 $a\Phi_n$
$a\Phi_n=\{ ac_1,ac_2,\cdots,ca_{\phi(n)}\}$
我们证明 $a\Phi_n$ 也是模 $n$ 的一个缩系。

由于 $\gcd(a,n)=1,\gcd(c_j,n)=1, 1\le j\le \phi (n)$ ,那么必然有

$gcd(ac_j, n)=1$ 。

因此我们只需要证明
$\forall 1 \le i,j \le \phi(n), i \ne j; ac_i \not{\equiv} \ ac_j\quad(\ \bmod \ n)$

就能证明 $a\Phi_n$ 是模 $n$ 的一个缩系。

我们假设

$\exists 1 \le i,j \le \phi(n), \ i \ne j, \ s.t.\\ ac_i \equiv ac_j \quad (\ \bmod\ n)$
由于 $\gcd(a,n)=1$ ，那么 $a^{-1} \quad(\ \bmod\ n)$ 即 $a$ 在模 $n$ 下的逆元必定

存在。

$ac_i \equiv ac_j \quad (\ \bmod\ n)\\ a^{-1}ac_i \equiv a^{-1}ac_j \quad (\ \bmod\ n)\\ c_i \equiv c_j \quad (\ \bmod \ n)$
这与 $c_i \not{\equiv} \ c_j \quad (\ \bmod \ n)$ 矛盾，因此

$\forall 1 \le i,j \le \phi(n), i \ne j , ac_i \not{\equiv} ac_j \quad (\ \bmod \ n)$

即 $a\Phi_n$ 也是模 $n$ 的一个缩系。

那么必然有

$\begin{align*} \Pi_{i=1}^{\phi(n)} c_i &\equiv \Pi_{i=1}^{\phi(n)}ac_i \quad (\ \bmod \ n)\\ & \equiv a^{\phi(n)} \Pi_{i=1}^{\phi(n)}c _i \quad (\ \bmod \ n) \end{align*}$
显然 $\gcd(\Pi_{i=1}^{\phi(n)}c_i, n)=1$ , 因此 $\Pi_{i=1}^{\phi(n)}c_i$ 在模 $n$ 意义下存在逆元。