TOA（到达时间）定位的核心是通过测量信号从目标到多个基站的传播时间，将其转换为距离信息，并利用几何关系解算目标位置。本文给出具体的建模与解算步骤及公式推导
文章目录
- 通用模型建立
- 非线性方程组构建
- 线性化处理（最小二乘法）
- 最大似然估计（ML）
- 高斯-牛顿迭代法
- 误差分析（克拉美罗界，CRLB）
- 关键公式总结
- 应用扩展
通用模型建立
假设条件：
- 已知 N N N个基站坐标 ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi,yi)（ i = 1 , 2 , . . . , N i=1,2,...,N i=1,2,...,N）。
- 目标位置为未知参数 ( x , y ) (x, y) (x,y)。
- 信号传播速度为光速 c c c（空中场景通常取 c = 3 × 1 0 8 m/s c=3 \times 10^8 \, \text{m/s} c=3×108m/s）。
距离模型：
信号到达时间 t i t_i ti对应的距离为：
r i = c ⋅ t i = ( x − x i ) 2 + ( y − y i ) 2 + n i r_i = c \cdot t_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2} + n_i ri=c⋅ti=(x−xi)2+(y−yi)2+ni
其中 n i n_i ni为测量噪声（通常假设为高斯白噪声），实际距离为 d i = ( x − x i ) 2 + ( y − y i ) 2 d_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2} di=(x−xi)2+(y−yi)2。
非线性方程组构建
每个基站对应一个圆方程：
( x − x i ) 2 + ( y − y i ) 2 = r i 2 ( i = 1 , 2 , . . . , N ) (x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 = r_i^2 \quad (i=1,2,...,N) (x−xi)2+(y−yi)2=ri2(i=1,2,...,N)
由于噪声存在，方程需通过优化方法求解目标位置 ( x , y ) (x, y) (x,y)。
线性化处理（最小二乘法）
将非线性方程转化为线性方程组以减少计算复杂度：
-
展开方程：
对第$i)个基站：
[
x^2 - 2x_i x + x_i^2 + y^2 - 2y_i y + y_i^2 = r_i^2
] -
消去二次项：
选取第1个基站为参考，其余方程减去参考方程：
− 2 ( x i − x 1 ) x − 2 ( y i − y 1 ) y = r i 2 − r 1 2 − ( x i 2 + y i 2 − x 1 2 − y 1 2 ) -2(x_i - x_1)x - 2(y_i - y_1)y = r_i^2 - r_1^2 - (x_i^2 + y_i^2 - x_1^2 - y_1^2) −2(xi−x1)x−2(yi−y1)y=ri2−r12−(xi2+
