前言

当你写出一段能“跑得起来”的C语言程序时，也许你会觉得：“OK，搞定了！”
但你有没有想过：

• 这段程序在处理大数据量时，会不会把内存撑爆？
• 有没有可能用了太多没必要的变量和数组，浪费了资源？
• 如果要在嵌入式系统或内存有限的设备上跑，它还能正常运行吗？

这时，我们就得引入另一个重要的概念 —— 空间复杂度（Space Complexity）。

空间复杂度，简单来说，就是分析你的程序到底“吃”了多少内存。它不仅能帮助我们优化程序效率，也能避免内存泄漏、程序崩溃等一系列问题。

一、什么是空间复杂度？

在学习编程时，我们经常关心程序运行的速度，而空间复杂度关注的则是程序运行时**“占用了多少内存”**。

举个例子：

如果你写了一个程序，它在处理数据时需要开辟额外的数组、结构体、变量等存储信息，那么这些就算作了额外空间。空间复杂度就是用来衡量这部分空间使用情况的。

通俗理解：

你可以把程序比作一个人在做题：

• 他眼前的试卷是输入数据（这些不算在空间复杂度里）
• 他额外准备的草稿纸、笔、计算器就是辅助空间（这些要算）

空间复杂度，关注的就是：这个人需要准备多少张草稿纸？

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二、空间复杂度的数学定义

空间复杂度一般用大写的 O 符号表示，例如：

• O(1)：常数空间，只用很少的变量
• O(n)：线性空间，比如要开一个数组来存储 n 个元素
• O(n^2)：平方空间，常见于二维数组或矩阵问题

我们不关心精确的字节数，只看输入规模 n 增加时，额外内存的增长趋势。

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三、常见空间复杂度举例（含C语言代码）

🔹 O(1)：常数空间

程序只用固定几个变量，不随输入变化而变化。

int max(int arr[], int n) {
    int maxVal = arr[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (arr[i] > maxVal) {
            maxVal = arr[i];
        }
    }
    return maxVal;
}

分析：

• maxVal 和 i 是两个变量，和 n 的大小无关
• 所以空间复杂度是 O(1)

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🔹 O(n)：线性空间

程序根据输入的大小，分配了等量的内存空间。

int* duplicate(int arr[], int n) {
    int* result = (int*)malloc(n * sizeof(int));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        result[i] = arr[i];
    }
    return result;
}

分析：

• 申请了一个新的数组 result，长度为 n
• 所以空间复杂度为 O(n)

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🔹 O(n^2)：平方空间

使用了二维数组，如矩阵、图的邻接矩阵等情况。

int** createMatrix(int n) {
    int** matrix = (int**)malloc(n * sizeof(int*));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        matrix[i] = (int*)malloc(n * sizeof(int));
    }
    return matrix;
}

分析：

• 共申请了 n × n 个整数的空间
• 所以空间复杂度为 O(n^2)

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四、输入数据占用的空间算吗？

不算！

空间复杂度只考虑算法运行过程中新增的内存。输入数据（比如函数参数）默认已经存在，不属于算法“额外使用”的空间。

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五、递归中的空间复杂度

递归函数往往会消耗较多空间，因为每一次递归调用都会压入一个栈帧。

int factorial(int n) {
    if (n == 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}

分析：

• 递归深度为 n，每次调用都占一份栈空间
• 所以空间复杂度为 O(n)

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六、时间复杂度 vs 空间复杂度

对比项	时间复杂度	空间复杂度
含义	程序运行需要的“时间”	程序运行需要的“空间”
衡量单位	步数（操作次数）	字节数/变量个数等
关注点	程序快不快	程序占不占内存
示例	排序算法耗时	哈希表占用内存

有时需要做取舍，比如：

• 用 更多空间 来加快处理速度（空间换时间）
• 用 更少空间，但处理得慢一些（时间换空间）

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七、优化空间复杂度的常见方法

方法	举例说明
尽量复用变量	不重复创建数组
能用原地修改就原地修改	冒泡排序直接在原数组上操作
使用位运算压缩空间	布尔数组压缩成位图（bitset）
及时释放动态内存	使用 free() 释放 malloc() 空间

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总结

• 空间复杂度衡量的是程序运行时占用的额外内存大小
• 通常只考虑临时变量、辅助数组、递归栈帧等
• 表达形式用 O(1)、O(n)、O(n^2) 等
• 递归和大数据处理时要特别注意空间使用
• 编程中要学会在时间与空间之间做平衡