单调栈 —— 1.基本概念与核心算法

news2025/5/17 18:04:27

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1. 基本概念

1.1 知识预备

在理解单调栈之前，我们需要先掌握两个基础概念：栈（Stack） 和 单调性（Monotonicity）。

什么是栈（Stack）

栈是一种**后进先出（LIFO, Last-In-First-Out）**的数据结构：

新元素始终压入栈顶（push）
移除元素也始终从栈顶弹出（pop）

我们可以把栈想象成一叠书：

你只能从最上面放/取书（栈顶）
先放进去的书在下面，必须等上面的书移除后才能访问

基本操作：

push(x)：将元素 x 压入栈顶
pop()：弹出栈顶元素
top()：查看栈顶元素但不弹出
empty()：判断栈是否为空

1.2 `什么是单调栈`

单调栈是栈的一种特殊使用方式，其特点是：始终保持栈内元素有序（单调递增或递减）。

常见的两种形式：

单调递增栈：栈中元素从栈底到栈顶递增（栈顶最小）
单调递减栈：栈中元素从栈底到栈顶递减（栈顶最大）

例如，维护一个单调递增栈的过程：

初始空栈：[]
压入 3： [3]
压入 5： [3, 5] ✅（递增）
压入 2： ❌（2 小于栈顶 5，弹出 5，再比较 3，直到栈递增）最后的结果是 [2]

单调栈的本质：在压入元素时，通过弹出不满足单调性的栈顶元素，从而维护一个有序结构，方便我们高效地找到“下一个更大/小”的元素。

单调栈常解决的问题类型：

适合使用 单调栈 的题目，通常具有以下几个显著特点：

1. 需要找“第一个满足条件的前/后缀元素”

比如：

右边第一个比自己大的元素
左边第一个比自己小的元素
最近的更高温度、更高价格、更大柱子

👉 本质：找某个方向上第一个满足单调性条件的元素

2. 数组或序列题，且有“元素之间的相对关系”

题目一般给定一个 一维数组/序列
要你找出元素之间的顺序比较关系

例如：

每个元素右边第一个更大的数
每个元素左边第一个更小的位置

3. 暴力解法是 O(n²)，但可以优化为 O(n)

如果你写出暴力法是两层循环查“后面第一个符合条件的元素”，就可以考虑：

是否能用单调栈来代替嵌套循环

单调栈能做到：

每个元素最多被压入一次，弹出一次
时间复杂度稳定在 O(n)

4. 问题与“范围”、“跨度”或“影响范围”有关

如：

当前元素往左/右能扩展到多远
柱状图中每个柱子形成的最大矩形
股票价格连续上升/下降天数

这些问题都和某个元素能“影响”多远有关，适合用单调栈维护边界。

1.3 单调栈的常见例题

应用方向	示例题目	说明
找最近更大/小元素	LeetCode 496（下一个更大元素）	线性替代暴力嵌套循环
求区间最值相关	LeetCode 84（柱状图最大矩形）	栈维护高度索引
序列分析	LeetCode 739（每日温度）	找出等待更高温度的天数
股票分析	LeetCode 901（股票价格跨度）	求比当前价格小的最近时间间隔

2. 核心算法

2.1 解题思路（以“下一个更小元素”为例）

使用一个栈，从左到右遍历数组
当当前元素比栈顶元素小：说明找到“右侧第一个更小元素”
栈中维护一个单调递增序列的索引

2.2 代码实现（Python 示例）

def next_smaller_elements(nums):
    res = [-1] * len(nums)
    stack = []
    for i in range(len(nums)):
        while stack and nums[i] < nums[stack[-1]]:
            idx = stack.pop()
            res[idx] = nums[i]
        stack.append(i)
    return res

2.3 灵活应用

变体需求	应对策略
查找前一个更小/更大元素	从右往左扫描
需要记录距离而不是值	栈中存索引，使用 `i - stack[-1]`
找所有区间贡献	与前一个/后一个满足条件元素组合出区间