每日c/c++题备战蓝桥杯（小球反弹）[镜像思路求解，最小公倍数]

news2025/7/16 7:36:01

思路：

错解：对于这道题而言，有的同学会选择用计算每次碰撞的坐标，直到坐标等于原点的方法来做，但这种方法实现起来比较繁琐，并且由于碰撞点的坐标有可能是浮点数，而浮点数会丢失精度，如果碰撞次数非常多，那么精度损失会无法承受
正解：以宏观的角度观察题目，看看有什么特点。下面分享两种方法。

方法一：运动分解求解（最大公约数）

详细请看我之前的博客。点击链接

方法二：镜像求解（最小公倍数）

原理：

对于一次长边的碰撞，可以看成沿长边翻转后，继续向镜像中前进，如下图

同理，对于一次短边的碰撞，也可以看成沿短边翻转后，继续向镜像中前进，如下图

思路：

有了上面的原理，我们可以推出：当小球一直沿着镜像中“直线”出发，第一次到达某个镜像原点的时候，就是正解的情况。

我们继续观察镜像原点坐标的规律，如下图红点

我们可以发现对于每个镜像原点的坐标，满足以下条件：

（x,y）∈ {x是2X的倍数，y是2Y的倍数}

其中X是题目长方形的长，Y是长方形的宽

有了上面的发现后，我们只需要找到同时符合x，y方向上分运动的路程分别满足以上条件的时间t即可，找到了时间 t，我们就可以用以下公式来求解答案

S = t * V(和)

其中：

t为小球返回原点所需总时间
V(和) 为合速度
S 为题目要求的总路程

需要注意的是，题目给的分速度是比的形式，但我们仍然可以看作dx是15，dy是17

暴力算法实现步骤

遍历单位时间 t
找到同时符合x，y方向坐标的的t
输出结果保留2位小数

注意事项：

t可以为单位时间的原因(整数)是，互质的两个数只有乘以一个整数，结果才能都是整数，dx和dy互质，而镜像原点xy坐标都为整数，也就是说到达原点的情况下时间t一定是整数，固可用整数遍历t。

暴力代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int X=343720,Y=233333,dx = 15,dy =17;
    int t=1;
    for(t=1;;++t)
    {
        if((dx*t) % (2*X) == 0 && (dy*t) % (2*Y) == 0)
        {
            break;
        }

    }
    double ans = t * sqrt(15*15+17*17);
    printf("%.2lf", ans);
    return 0;
}

输出结果

1100325199.77

算法优化

对于某一分量如x方向，位移必须是2X的整数倍，则第一次碰撞在最小公倍数lcm(dx，2X)上(dx为x的速率，X为宽)，第二次在2*lcm(dx，2X)上，以此类推，则时间步长可以设置为lcm(dx，2X)/dx，即路程除以速度，后面遍历按照x或y方向步长增倍即可。

优化后的代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int x,int y)
{
    int tem = x%y;
    while(x%y)
    {
        x=y;
        y=tem;
        tem = x%y;
    }
    return y;
}
int lcm(int x,int y)
{
    return x*y/gcd(x,y);
}
int main() {
   int X=343720,Y=233333,dx = 15,dy =17;
   int tem=lcm(dx,2*X)/dx;
   int t=1;
   for(t=tem; ;t += tem)
   {
    if((dx*t) % (2*X) == 0 && (dy*t) % (2*Y) == 0)
    {
        break;
    }
   }
    double ans = t * sqrt(15*15+17*17);
    printf("%.2lf", ans);
    return 0;
}