子序列（不连续）和子序列（连续）的问题
例题1: 最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
- 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
- 输出：4
- 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
- 输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
- 输出：4
示例 3：
- 输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
- 输出：1
提示：
- 1 <= nums.length <= 2500
- -10^4 <= nums[i] <= 10^4
在子序列（连续）和子序列（非连续）的问题中， dp[i] 数组的含义一般都是：以 nums[i] 为结尾的最长xxx，目的是通过比较 2 个子序列的 nums[i]/nums[j] 结尾是否递增。
动规5部曲
1、dp数组含义
dp[i]: 以 nums[i] 为结尾的递增子序列最长
2、递推公式
位置 i 的最长升序子序列等于 j 从 0 到 i-1 各个位置的最长升序子序列 +1 的最大值。
所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
注意这里不是要 dp[i] 与 dp[j] + 1 进行比较，而是我们要取 dp[j] + 1 的最大值
3、初始化
由 dp 数组的含义，每个以 nums[i] 为结尾的递增子序列初始长度都为1
4、遍历顺序
从左往右
5、打印dp数组观察
code
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
vector<int> dp(nums.size());
//dp[i] : 以nums[i]为结尾的最长递增子序列
//dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
//初始化，每个dp[i]都为1
for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
dp[i] = 1;
}
for(int i = 1; i < nums.size(); i++){
for(int j = 0; j < i ; j++){
if(nums[j] < nums[i])
dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
}
}
int maxlen = 1;
for(int i = 0; i<dp.size();i++){
maxlen = max(maxlen,dp[i]);
}
return maxlen;
}
};例题2：最长连续递增序列
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。
示例 1：
- 输入：nums = [1,3,5,4,7]
- 输出：3
- 解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。
示例 2：
- 输入：nums = [2,2,2,2,2]
- 输出：1
- 解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。
提示：
- 0 <= nums.length <= 10^4
- -10^9 <= nums[i] <= 10^9
这一题跟上一题很类似，判断条件里加一个 j == i-1 即可，不过也可以进行简化，因为此题用不到 j，判断条件可以简化为：
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
dp[i] = dp[i - 1] + 1;
}
}例题3：最长重复子数组
给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。
示例：
输入：
- A: [1,2,3,2,1]
- B: [3,2,1,4,7]
- 输出：3
- 解释：长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。
提示：
- 1 <= len(A), len(B) <= 1000
- 0 <= A[i], B[i] < 100
这道题有 2 个整数数组，所以我们使用二维数组来表示 2 个数组的公共最长子数组的长度。
动规5部曲
1、dp数组的含义
参考前两题，dp[i][j] 表示数组 A 中以 A[i-1] 为结尾和在数组 B 中以 B[j-1] 为结尾的最长子数组。
2、递推式
当 A[i-1] == B[j-1] 时，说明以 A[i-1] 和 B[j-1] 结尾的公共最长字数组长度又 +1
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
3、初始化
全初始化为 0 即可
4、打印dp数组
code
class Solution {
public:
int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
//初始化
vector<vector<int>> dp(nums1.size()+1, vector<int>(nums2.size()+1,0));//前行后列
int maxlen = 0;
for(int i = 1; i <= nums1.size(); i++){
for(int j = 1; j <= nums2.size(); j++){
if(nums1[i-1] == nums2[j-1]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
}
maxlen = max(maxlen,dp[i][j]);
}
}
return maxlen;
}
};例题4：最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。
若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。
示例 1:
- 输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
- 输出：3
- 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。
示例 2:
- 输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
- 输出：3
- 解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。
示例 3:
- 输入：text1 = "abc", text2 = "def"
- 输出：0
- 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。
提示:
- 1 <= text1.length <= 1000
- 1 <= text2.length <= 1000 输入的字符串只含有小写英文字符。
动规5部曲
这道题其实看起来跟上1题很像，dp[i][j] 代表的仍然是以 A[i-1] 为结尾和在数组 B 中以 B[j-1] 为结尾的最长公共子序列。
不同的是，这道题的dp数组需要保存左边和上面的值，见例：
所以当两个数组的元素相等时，
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;若两个数组的元素不相等，也需要将 前面相同元素的数量 保存到当前
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);code
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
vector<vector<int>> dp(text1.size()+1, vector<int>(text2.size()+1,0));
//dp数组表示以 i-1 为结尾的数组A 和以 j-1 为结尾的数组B的最长公共子序列
int maxlen = 0;
for(int i = 1; i <= text1.size(); i++){
for(int j = 1; j <= text2.size(); j++){
if(text1[i-1] == text2[j-1]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
}else{
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);//两个字符不同时，最长公共子序列长度应该是前一个位置的最大值
}
maxlen = max(maxlen,dp[i][j]);
}
}
return maxlen;
}
};例题5：不相交的线
在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足：
- nums1[i] == nums2[j]
- 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
这题跟第5题可谓是一模一样
例题6：最大子序和
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例:
- 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
- 输出: 6
- 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
动规5部曲
1、dp数组含义
dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。
2、递推公式
dp[i] 有 2 个来源，一是 从前一个连续的子数组加上本身；二是从当前下标重新开始创建子数组
所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
3、初始化
dp[0] = nums[0]
4、遍历顺序
从左到右
5、举例推导dp数组
code
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
//dp[i]：表示以 i-1 结尾的连续子数组的最大和为 dp[i]
int n = nums.size();
vector<int> dp(n);
dp[0] = nums[0];
int maxlen = nums[0];
for(int i = 1; i < n; i++){
dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
maxlen = max(maxlen,dp[i]);
}
return maxlen;
}
};
