笛卡尔树

定义

笛卡尔树是一种二叉树，每一个节点由一个键值二元组 $(k,w)$ 构成。要求 $k$ 满足二叉搜索树的性质，而 $w$ 满足堆的性质。如果笛卡尔树的 $k,w$ 键值确定，且 $k$ 互不相同，$w$ 也互不相同，那么这棵笛卡尔树的结构是唯一的。

通俗的讲，笛卡尔树是一个二叉树，中序遍历是原序列，同时满足堆性质。

构建

以小根堆笛卡尔树为例。

法1

观察上图笛卡尔树，我们发现，一个节点的父亲就是 左边第一个比它小的 与 右边第一个比它小的 的较大的那个。

写个单调栈来回跑两遍即可。

法2
我们考虑将元素按下标顺序依次插入到当前的笛卡尔树中。那么每次我们插入的元素必然在这棵树的右链（右链：即从根节点一直往右子树走，经过的节点形成的链）的末端。于是我们执行这样一个过程，从下往上比较右链节点与当前节点 $u$ 的 $w$，如果找到了一个右链上的节点 $x$ 满足 $w_x<w_u$，就把 $u$ 接到 $x$ 的右儿子上，而 $x$ 原本的右子树就变成 $u$ 的左子树。

下图红框部分就是我们始终维护的右链：

模板P5854

	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		while(Sid&&a[S[Sid]]>a[i])
			Sid--;
		l[i]=S[Sid+1];
		if(Sid)
			r[S[Sid]]=i;
		S[++Sid]=i;
		S[Sid+1]=0;
	}

性质

• 区间 $[l,r]$ 的极值所在为 $l,r$ 在笛卡尔树上的 LCA。
• 每个数左右两边第一个比它大/小的数分别是它在笛
  卡尔树上的父亲和“拐点祖先”。
• 随机笛卡尔树的树高是 $O(\log n)$ 的。

习题

P6453 [COCI 2008/2009 #4] PERIODNI

$1\le n,k\le 500$，层高不会超过 $10^6$

考虑在第 $i$ 列和第 $j$ 列 的第 $h$ 层都放了一个数，那么要求中间断开，即 ${\min }_{k=i}^j{a}_i<h$，其中 $a_i$ 为第 $i$ 列层数。

考虑建出小根堆笛卡尔树。

分成了若干矩形，树形DP即可。

CF1913D Array Collapse

link

$1\le n\le 3\times 10^5,1\le p_i\le 10^9$

• 考虑建立一棵小根堆笛卡尔树。
• 每个子树的根节点对应一段区间 $[l,r]$ 的最小值的位置 $x$。
• 左子树表示 $[l,x-1]$，右子树表示 $[x+1,r]$。
• 记 $f_u$ 表示以 $u$ 为根（即区间 $[l,r]$ ）的方案数，也记为 $f[l,r]$。
• 如果不删除 $u$，方案为 $f[l,x-1]\times f[x+1,r]$。
• 考虑删除 $u$，因为是在笛卡尔树上 dp。
• 所以如果 $l>1$，那么 $u$ 可以被左边删掉，方案数为 $f[x+1,r]$。
• 同理 $r<n$，方案数为 $f[l,x-1]$。
• 如果都能被两边删除，算重的方案为 $1$（全部删掉）。

P4755 Beautiful Pair

link

$1\le n\le 10^5,1\le a_i\le 10^9$

• 考虑建立一棵大根堆笛卡尔树。
• 同上一题，每个子树的根节点对应一段区间 $[l,r]$ 的最大值的位置 $x$。
• 类似分治，考虑计算跨过 $x$ 的方案数。
• 枚举短的一边（不妨假设是左边），设 $i\in [l,x]$，那么需要查询 $[x,r]$ 内 $\le \frac{a_x}{a_i}$的数的个数。
• 容易证明枚举次数不超过 $n\log n$次。
• 直接主席树维护即可。

[ARC186B] Typical Permutation Descriptor

link

$1\le N\le 3\times 10^5,0\le A_i<i$

不难发现 $P_{A_i}$ 即是 $i$ 左边第一个比 $A_i$ 小的数，根据这一点建立笛卡尔树，则原问题变为在笛卡尔树上填数的方案数，简单DP即可。