动态规划
分析:(五步)
- 状态表示
状态表示是什么?
dp表里面的值锁表示的含义
状态表示怎么来的?
- 题目要求
- 经验 + 题目要求
- 线性状态表经验: 以i位置为结尾 以i位置为起点
- 分析问题的过程中, 发现重复子问题
- 状态转移方程
dp[i] 等于什么(一个公式)
用之前或者之后的状态, 推导出dp[i]的值 - 初始化
保证填表的时候不越界 - 填表顺序
为了填写当前状态的时候, 所需要的状态已经计算过了 - 返回值
题目要求 + 状态表示
编写代码: (四步)
- 创建dp表
- 初始化
- 填表
- 确定返回值
优化: 处理边界问题以及初始化问题的技巧
如果初始化和填表的逻辑类似, 我们可以把初始化塞到填表逻辑中
做法:
dp多开一个空间, 将之前的dp表整体向后移动, 前面的一个位置称为虚拟节点
注意:
1.虚拟结点里面的值, 要保证是正确的 一般情况下设置为0, 但还是要具体分析
2.下标的映射关系
一.第n个泰波那契数
第n个泰波那契数
- 状态表示
dp表 表示第n个泰波那契数 - 状态转移方程
dp[i] = dp[i - 3] + dp[i - 2] + dp[i - 1] - 初始化
dp[0] = 0 dp[1] = 1 dp[2] = 1 - 填表顺序
从左往右 - 返回值
返回dp[n]
class Solution {
public int tribonacci(int n) {
//处理边界情况
if(n == 0) return 0;
if(n == 1 || n == 2) return 1;
//1. 创建dp表
int[] dp = new int[n + 1];
//2. 初始化
dp[0] = 0;
dp[1] = dp[2] = 1;
//3. 填表
for(int i = 3; i <= n; i++){
//状态转移方程
dp[i] = dp[i - 3] + dp[i - 2] + dp[i - 1];
}
//4. 确定返回值
return dp[n];
}
}
空间优化: 用滚动数组来实现(此题使用变量即可)
class Solution {
public int tribonacci(int n) {
//处理边界情况
if(n == 0) return 0;
if(n == 1 || n == 2) return 1;
//空间优化
int a = 0, b = 1, c = 1, d = 0;
for(int i = 3; i <= n; i++){
d = a + b + c;
a = b;
b = c;
c = d;
}
//确定返回值
return d;
}
}
二. 三步问题
三步问题
- 状态表示
dp[i] 表示到达i位置时, 一共有多少种方法 - 状态转移方程
以i位置的状态, 最近的一步来划分问题
1.从 i - 1 到 i dp[i - 1]
2.从 i - 2 到 i dp[i - 2]
3.从 i - 3 到 i dp[i - 3]
dp[i] = dp[i - 3] + dp[i - 2] + dp[i - 1] - 初始化
dp[1] = 1 dp[2] = 1 dp[3] = 4 - 填表顺序
从左往右 - 返回值
返回dp[n]
class Solution {
public int waysToStep(int n) {
// 1. 创建dp表
// 2. 初始化
// 3. 填表
// 4. 确定返回值
int MOD = (int)1e9 + 7;
if(n == 1 || n == 2) return n;
if(n == 3) return 4;
int[] dp = new int[n + 1];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
dp[3] = 4;
for(int i = 4; i <= n; i++){
dp[i] = ((dp[i - 3] + dp[i - 2]) % MOD + dp[i - 1]) % MOD;//每次做加法都有可能越界
}
return dp[n];
}
}
三. 使用最小花费爬楼梯
使用最小花费爬楼梯
方法一: 以i位置结尾
- 状态表示
dp[i] 表示到达i位置时, 最小花费 - 状态转移方程
以i位置的状态, 最近的一步来划分问题
1.先到达 i - 1 的位置, 然后支付cost[i - 1] 走一步 到 i dp[i - 1] + cost[i - 1]
2.从先到达 i - 2 的位置, 然后支付cost[i - 2] 走两步 到 i dp[i - 2] + cost[i - 2]
- dp[i] =min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
- 初始化
dp[0] = dp[1] = 0 - 填表顺序
从左往右 - 返回值
返回dp[n]
class Solution {
public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
// 1. 创建dp表
// 2. 初始化
// 3. 填表
// 4. 确定返回值
int n = cost.length;
int[] dp = new int[n + 1];
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
}
return dp[n];
}
}
方法二: 以i位置开始
- 状态表示
dp[i] 表示从i位置, 到达顶点的最小花费 - 状态转移方程
以 i 位置的状态, 最近的一步来划分问题
1.先支付cost[i] 走一步, 从 i 位置到达 i + 1 的位置, 然后到终点 dp[i + 1] + cost[i]
2.先支付cost[i] 走两步, 从 i 位置到达 i + 2 的位置, 然后到终点 dp[i + 2] + cost[i]
- dp[i] =min(dp[i + 1] + cost[i], dp[i + 2] + cost[i])
- 初始化
dp[n] = cost[n], dp[n - 1] = cost[n - 1] - 填表顺序
从右往左 - 返回值
返回min(dp[0], dp[1])
class Solution {
public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
// 1. 创建dp表
// 2. 初始化
// 3. 填表
// 4. 确定返回值
int n = cost.length;
int[] dp = new int[n];
dp[n - 2] = cost[n - 2];
dp[n - 1] = cost[n - 1];
for(int i = n - 3; i >= 0; i--){
dp[i] = Math.min(dp[i + 1] + cost[i], dp[i + 2] + cost[i]);
}
return Math.min(dp[0], dp[1]);
}
}
四. 解码方法
解码方法
- 状态表示
dp[i] 表示以 i 位置结尾, 解码方法的总数 - 状态转移方程
1.只解码 i 位置, 可以分成成功和失败两种情况
成功, s[i] 一定是>= 1 && <= 9, 说明从头开始到i位置, 都是可以正常解码的, 只需在解码成功的字符串后面加上一个字符, 那么dp[i] = dp[i - 1]
失败 说明不管前面解码是否成功, i位置失败了, 就不算解码成功, dp[i] = 0
2.解码 i 位置和 i - 1 位置, 也可以分成成功和失败两种情况
成功, s[i - 1] * 10 + s[i] 一定是>= 10 && <= 26, 说明从头开始到i位置, 都是可以正常解码的, 只需在解码成功的字符串(dp[i - 2])后面加上一个字符, 那么dp[i] = dp[i - 2]
失败 说明不管前面解码是否成功, i位置失败了, 就不算解码成功, dp[i] = 0
- 成功条件: dp[i] =dp[i - 1] + dp[i - 2]
- 初始化
dp[0] 一个字符的解码总数: 成功为1, 失败为0
dp[1] 一个字符: 成功为1, 失败为0, 两个字符: 成功为1, 失败为0, 所以dp[1]可能为1, 2, 0 - 填表顺序
从左往右 - 返回值
返回dp[n - 1]
class Solution {
public int numDecodings(String ss) {
// 1. 创建dp表
// 2. 初始化
// 3. 填表
// 4. 返回值
char[] s = ss.toCharArray();
int n = s.length;
int[] dp = new int[n];
//初始化dp[0]
if (s[0] != '0')
dp[0] += 1;
//注意字符长度
if (n == 1)
return dp[0];
//初始化dp[1]
if (s[1] != '0' && s[0] != '0')
dp[1] += 1;
int t = (s[0] - '0') * 10 + s[1] - '0';
if (t >= 10 && t <= 26)
dp[1] += 1;
//填表
for (int i = 2; i < n; i++) {
if (s[i] != '0')
dp[i] += dp[i - 1];
int tt = (s[i - 1] - '0') * 10 + s[i] - '0';
if (tt >= 10 && tt <= 26)
dp[i] += dp[i - 2];
}
return dp[n - 1];
}
}
优化:
此题中, 虚拟节点dp[0]中的值, 应该为1
因为当dp[1]和dp[2]两个字符一起看的时候, 如果能映射成字符, 那么dp[2] = dp[2 - 2] = dp[0], 此时应该算作一个结果, 应该为1
class Solution {
public int numDecodings(String ss) {
// 1. 创建dp表
// 2. 初始化
// 3. 填表
// 4. 返回值
char[] s = ss.toCharArray();
int n = s.length;
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始化dp[0]
dp[0] = 1;// 虚拟节点
// 初始化dp[1]
if (s[0] != '0')
dp[1] = 1;
// 填表
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (s[i - 1] != '0')
dp[i] += dp[i - 1];
int tt = (s[i - 2] - '0') * 10 + s[i - 1] - '0';
if (tt >= 10 && tt <= 26)
dp[i] += dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
}
